Theorem xpkvexg 4286

Description: The Kuratowski cross product of V with a set is a set. (Contributed by SF, 13-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpkvexg	⊢ (A ∈ V → (V ×k A) ∈ V)

Proof of Theorem xpkvexg

Dummy variables a b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpkeq2 4200	. . 3 ⊢ (x = A → (V ×k x) = (V ×k A))
2	1	eleq1d 2419	. 2 ⊢ (x = A → ((V ×k x) ∈ V ↔ (V ×k A) ∈ V))
3		ax-xp 4080	. . 3 ⊢ ∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃a∃b(z = ⟪a, b⟫ ∧ b ∈ x))
4		isset 2864	. . . 4 ⊢ ((V ×k x) ∈ V ↔ ∃y y = (V ×k x))
5		dfcleq 2347	. . . . . 6 ⊢ (y = (V ×k x) ↔ ∀z(z ∈ y ↔ z ∈ (V ×k x)))
6		elxpk 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ (V ×k x) ↔ ∃a∃b(z = ⟪a, b⟫ ∧ (a ∈ V ∧ b ∈ x)))
7		vex 2863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ a ∈ V
8	7	biantrur 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (b ∈ x ↔ (a ∈ V ∧ b ∈ x))
9	8	anbi2i 675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z = ⟪a, b⟫ ∧ b ∈ x) ↔ (z = ⟪a, b⟫ ∧ (a ∈ V ∧ b ∈ x)))
10	9	2exbii 1583	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃a∃b(z = ⟪a, b⟫ ∧ b ∈ x) ↔ ∃a∃b(z = ⟪a, b⟫ ∧ (a ∈ V ∧ b ∈ x)))
11	6, 10	bitr4i 243	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ (V ×k x) ↔ ∃a∃b(z = ⟪a, b⟫ ∧ b ∈ x))
12	11	bibi2i 304	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ y ↔ z ∈ (V ×k x)) ↔ (z ∈ y ↔ ∃a∃b(z = ⟪a, b⟫ ∧ b ∈ x)))
13	12	albii 1566	. . . . . 6 ⊢ (∀z(z ∈ y ↔ z ∈ (V ×k x)) ↔ ∀z(z ∈ y ↔ ∃a∃b(z = ⟪a, b⟫ ∧ b ∈ x)))
14	5, 13	bitri 240	. . . . 5 ⊢ (y = (V ×k x) ↔ ∀z(z ∈ y ↔ ∃a∃b(z = ⟪a, b⟫ ∧ b ∈ x)))
15	14	exbii 1582	. . . 4 ⊢ (∃y y = (V ×k x) ↔ ∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃a∃b(z = ⟪a, b⟫ ∧ b ∈ x)))
16	4, 15	bitri 240	. . 3 ⊢ ((V ×k x) ∈ V ↔ ∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃a∃b(z = ⟪a, b⟫ ∧ b ∈ x)))
17	3, 16	mpbir 200	. 2 ⊢ (V ×k x) ∈ V
18	2, 17	vtoclg 2915	1 ⊢ (A ∈ V → (V ×k A) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860  ⟪copk 4058   ×_k cxpk 4175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-xpk 4186

This theorem is referenced by:  cnvkexg  4287  xpkexg  4289  ssetkex  4295