Theorem distoa 944

Description: Derivation in OM of OA, assuming OA distributive law oadistd 1023. (Contributed by NM, 29-Nov-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
distoa.1	d = (a →2 b)
distoa.2	e = ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
distoa.3	f = ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
distoa.4	(d ∩ (e ∪ f)) = ((d ∩ e) ∪ (d ∩ f))

Assertion

Ref	Expression
distoa	((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ (a →2 c)

Proof of Theorem distoa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oa 820	. . 3 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ (a →2 c)
2		2oath1 826	. . . 4 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
3		lear 161	. . . 4 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ≤ (a →2 c)
4	2, 3	bltr 138	. . 3 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ (a →2 c)
5	1, 4	le2or 168	. 2 (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) ≤ ((a →2 c) ∪ (a →2 c))
6		distoa.4	. . . . 5 (d ∩ (e ∪ f)) = ((d ∩ e) ∪ (d ∩ f))
7		distoa.1	. . . . . 6 d = (a →2 b)
8		distoa.2	. . . . . . 7 e = ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
9		distoa.3	. . . . . . 7 f = ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
10	8, 9	2or 72	. . . . . 6 (e ∪ f) = (((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
11	7, 10	2an 79	. . . . 5 (d ∩ (e ∪ f)) = ((a →2 b) ∩ (((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))
12	7, 8	2an 79	. . . . . 6 (d ∩ e) = ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
13	7, 9	2an 79	. . . . . 6 (d ∩ f) = ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
14	12, 13	2or 72	. . . . 5 ((d ∩ e) ∪ (d ∩ f)) = (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))
15	6, 11, 14	3tr2 64	. . . 4 ((a →2 b) ∩ (((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))
16	15	ax-r1 35	. . 3 (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = ((a →2 b) ∩ (((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))))
17		u12lem 771	. . . . 5 (((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
18		df-i0 43	. . . . 5 ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
19	17, 18	ax-r2 36	. . . 4 (((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
20	19	lan 77	. . 3 ((a →2 b) ∩ (((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
21	16, 20	ax-r2 36	. 2 (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →1 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))) = ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
22		oridm 110	. 2 ((a →2 c) ∪ (a →2 c)) = (a →2 c)
23	5, 21, 22	le3tr2 141	1 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ (a →2 c)

Syntax hints:   = wb 1   ≤ wle 2  ^⊥ wn 4   ∪ wo 6   ∩ wa 7   →₀ wi0 11   →₁ wi1 12   →₂ wi2 13

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439

This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i0 43  df-i1 44  df-i2 45  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133

This theorem is referenced by: (None)