Theorem 2oath1 826

Description: OA-like theorem with →₂ instead of →₀ . (Contributed by NM, 15-Nov-1998.)

Assertion

Ref	Expression
2oath1	((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))

Proof of Theorem 2oath1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i2 45	. . 3 ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ ))
2	1	lan 77	. 2 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )))
3		coman1 185	. . 3 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) C (a →2 b)
4		comorr2 463	. . . . 5 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) C ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
5	4	comcom2 183	. . . 4 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) C ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥
6		anor3 90	. . . . 5 ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ ) = ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥
7	6	ax-r1 35	. . . 4 ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥ = ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )
8	5, 7	cbtr 182	. . 3 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) C ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )
9	3, 8	fh2 470	. 2 ((a →2 b) ∩ (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ ))) = (((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )))
10		anass 76	. . . . . 6 (((a →2 b) ∩ (a →2 b)) ∩ (a →2 c)) = ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
11	10	ax-r1 35	. . . . 5 ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = (((a →2 b) ∩ (a →2 b)) ∩ (a →2 c))
12		anidm 111	. . . . . 6 ((a →2 b) ∩ (a →2 b)) = (a →2 b)
13	12	ran 78	. . . . 5 (((a →2 b) ∩ (a →2 b)) ∩ (a →2 c)) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
14	11, 13	ax-r2 36	. . . 4 ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
15		oran 87	. . . . . . . . 9 ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )⊥
16	15	lor 70	. . . . . . . 8 ((a →2 b)⊥ ∪ ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b)⊥ ∪ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )⊥ )
17	16	ax-r1 35	. . . . . . 7 ((a →2 b)⊥ ∪ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )⊥ ) = ((a →2 b)⊥ ∪ ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
18		2oalem1 825	. . . . . . 7 ((a →2 b)⊥ ∪ ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = 1
19	17, 18	ax-r2 36	. . . . . 6 ((a →2 b)⊥ ∪ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )⊥ ) = 1
20	19	ax-r4 37	. . . . 5 ((a →2 b)⊥ ∪ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )⊥ )⊥ = 1⊥
21		df-a 40	. . . . 5 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )) = ((a →2 b)⊥ ∪ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )⊥ )⊥
22		df-f 42	. . . . 5 0 = 1⊥
23	20, 21, 22	3tr1 63	. . . 4 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )) = 0
24	14, 23	2or 72	. . 3 (((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ ))) = (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ 0)
25		or0 102	. . 3 (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ 0) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
26	24, 25	ax-r2 36	. 2 (((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ ))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
27	2, 9, 26	3tr 65	1 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))

Syntax hints:   = wb 1  ^⊥ wn 4   ∪ wo 6   ∩ wa 7  1wt 8  0wf 9   →₂ wi2 13

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439

This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i2 45  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133

This theorem is referenced by:  2oath1i1  827  oale  829  oaeqv  830  distoa  944