Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddpr Unicode version

 Description: The sum of two positive reals is greater than one of them. Proposition 9-3.5(iii) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression

Proof of Theorem ltaddpr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prop 6631 . . . 4
2 prml 6633 . . . 4
31, 2syl 14 . . 3
43adantl 266 . 2
5 prop 6631 . . . . 5
6 prarloc 6659 . . . . 5
75, 6sylan 271 . . . 4
87ad2ant2r 486 . . 3
9 elprnqu 6638 . . . . . . . . . . 11
105, 9sylan 271 . . . . . . . . . 10
1110adantlr 454 . . . . . . . . 9
1211ad2ant2rl 488 . . . . . . . 8
1312adantr 265 . . . . . . 7
14 simplrr 496 . . . . . . 7
15 simprl 491 . . . . . . . . . . . . 13
16 simplr 490 . . . . . . . . . . . . 13
1715, 16jca 294 . . . . . . . . . . . 12
18 df-iplp 6624 . . . . . . . . . . . . 13
19 addclnq 6531 . . . . . . . . . . . . 13
2018, 19genpprecll 6670 . . . . . . . . . . . 12
2117, 20syl5 32 . . . . . . . . . . 11
2221imdistani 427 . . . . . . . . . 10
23 addclpr 6693 . . . . . . . . . . 11
24 prop 6631 . . . . . . . . . . . 12
25 prcdnql 6640 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25sylan 271 . . . . . . . . . . 11
2723, 26sylan 271 . . . . . . . . . 10
2822, 27syl 14 . . . . . . . . 9
2928anassrs 386 . . . . . . . 8
3029imp 119 . . . . . . 7
31 rspe 2387 . . . . . . 7
3213, 14, 30, 31syl12anc 1144 . . . . . 6
33 ltdfpr 6662 . . . . . . . 8
3423, 33syldan 270 . . . . . . 7
3534ad3antrrr 469 . . . . . 6
3632, 35mpbird 160 . . . . 5
3736ex 112 . . . 4
3837rexlimdvva 2457 . . 3
398, 38mpd 13 . 2
404, 39rexlimddv 2454 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 101   wb 102   wcel 1409  wrex 2324  cop 3406   class class class wbr 3792  cfv 4930  (class class class)co 5540  c1st 5793  c2nd 5794  cnq 6436   cplq 6438   cltq 6441  cnp 6447   cpp 6449   cltp 6451 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-iplp 6624  df-iltp 6626 This theorem is referenced by:  ltexprlemrl  6766  ltaprlem  6774  ltaprg  6775  prplnqu  6776  ltmprr  6798  caucvgprprlemnkltj  6845  caucvgprprlemnkeqj  6846  caucvgprprlemnbj  6849  0lt1sr  6908  recexgt0sr  6916  mulgt0sr  6920  archsr  6924  prsrpos  6927  pitoregt0  6983
 Copyright terms: Public domain W3C validator