Theorem elreal 7639

Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
elreal	|- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem elreal

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 7633	. . 3 |- RR = ( R. X. { 0R } )
2	1	eleq2i 2206	. 2 |- ( A e. RR <-> A e. ( R. X. { 0R } ) )
3		elxp2 4557	. . 3 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> E. x e. R. E. y e. { 0R } A = <. x , y >. )
4		0r 7561	. . . . . . 7 |- 0R e. R.
5	4	elexi 2698	. . . . . 6 |- 0R e. _V
6		opeq2 3706	. . . . . . 7 |- ( y = 0R -> <. x , y >. = <. x , 0R >. )
7	6	eqeq2d 2151	. . . . . 6 |- ( y = 0R -> ( A = <. x , y >. <-> A = <. x , 0R >. ) )
8	5, 7	rexsn 3568	. . . . 5 |- ( E. y e. { 0R } A = <. x , y >. <-> A = <. x , 0R >. )
9		eqcom 2141	. . . . 5 |- ( A = <. x , 0R >. <-> <. x , 0R >. = A )
10	8, 9	bitri 183	. . . 4 |- ( E. y e. { 0R } A = <. x , y >. <-> <. x , 0R >. = A )
11	10	rexbii 2442	. . 3 |- ( E. x e. R. E. y e. { 0R } A = <. x , y >. <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
12	3, 11	bitri 183	. 2 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
13	2, 12	bitri 183	1 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   {csn 3527   <.cop 3530   X. cxp 4537   R.cnr 7108   0Rc0r 7109   RRcr 7622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7115  df-pli 7116  df-mi 7117  df-lti 7118  df-plpq 7155  df-mpq 7156  df-enq 7158  df-nqqs 7159  df-plqqs 7160  df-mqqs 7161  df-1nqqs 7162  df-rq 7163  df-ltnqqs 7164  df-inp 7277  df-i1p 7278  df-enr 7537  df-nr 7538  df-0r 7542  df-r 7633

This theorem is referenced by:  elrealeu  7640  axaddrcl  7676  axmulrcl  7678  axprecex  7691  axpre-ltirr  7693  axpre-ltwlin  7694  axpre-lttrn  7695  axpre-apti  7696  axpre-ltadd  7697  axpre-mulgt0  7698  axpre-mulext  7699  axarch  7702  axcaucvglemres  7710