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Theorem axcaucvglemres 7127
Description: Lemma for axcaucvg 7128. Mapping the limit from  N. and  R.. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axcaucvg.n  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
axcaucvg.f  |-  ( ph  ->  F : N --> RR )
axcaucvg.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N  A. k  e.  N  ( n  <RR  k  -> 
( ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  /\  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  (
iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) ) ) ) )
axcaucvg.g  |-  G  =  ( j  e.  N.  |->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
Assertion
Ref Expression
axcaucvglemres  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  (
0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F, j, n    y, F, j, k    z, F, j   
k, G, x, l, u    n, G, l, u, z    k, N, j, n    y, N, x    ph, k, x    j,
l, u, y    ph, j, x    k, r, l, n, u    z, l, u    ph, n    x, y    j, n, z, k    x, l, u
Allowed substitution hints:    ph( y, z, u, r, l)    F( x, u, r, l)    G( y, j, r)    N( z, u, r, l)

Proof of Theorem axcaucvglemres
Dummy variables  b  e  f  g  a  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axcaucvg.n . . . 4  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
2 axcaucvg.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : N --> RR )
3 axcaucvg.cau . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N  A. k  e.  N  ( n  <RR  k  -> 
( ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  /\  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  (
iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) ) ) ) )
4 axcaucvg.g . . . 4  |-  G  =  ( j  e.  N.  |->  ( iota_ z  e.  R.  ( F `  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. z ,  0R >. )
)
51, 2, 3, 4axcaucvglemf 7124 . . 3  |-  ( ph  ->  G : N. --> R. )
61, 2, 3, 4axcaucvglemcau 7126 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( G `  n
)  <R  ( ( G `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( G `  k )  <R  (
( G `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
75, 6caucvgsr 7040 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  R.  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( c  <N 
k  ->  ( ( G `  k )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) ) )
8 opelreal 7058 . . . . 5  |-  ( <.
b ,  0R >.  e.  RR  <->  b  e.  R. )
98biimpri 131 . . . 4  |-  ( b  e.  R.  ->  <. b ,  0R >.  e.  RR )
109ad2antrl 474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) ) )  ->  <. b ,  0R >.  e.  RR )
11 breq2 3797 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  k  ->  (
c  <N  d  <->  c  <N  k ) )
12 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  k  ->  ( G `  d )  =  ( G `  k ) )
1312breq1d 3803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  k  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  <->  ( G `  k )  <R  (
b  +R  a ) ) )
1412oveq1d 5558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  k  ->  (
( G `  d
)  +R  a )  =  ( ( G `
 k )  +R  a ) )
1514breq2d 3805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  k  ->  (
b  <R  ( ( G `
 d )  +R  a )  <->  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) )
1613, 15anbi12d 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  k  ->  (
( ( G `  d )  <R  (
b  +R  a )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  a ) )  <->  ( ( G `
 k )  <R 
( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) )
1711, 16imbi12d 232 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  k  ->  (
( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  a )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  a ) ) )  <->  ( c  <N  k  ->  ( ( G `  k )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) ) )
1817cbvralv 2578 . . . . . . . 8  |-  ( A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) )  <->  A. k  e.  N.  ( c  <N 
k  ->  ( ( G `  k )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) )
1918rexbii 2374 . . . . . . 7  |-  ( E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) )  <->  E. c  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( c  <N 
k  ->  ( ( G `  k )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  k
)  +R  a ) ) ) )
2019imbi2i 224 . . . . . 6  |-  ( ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) )  <-> 
( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) )
2120ralbii 2373 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) )  <->  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) )
2221anbi2i 445 . . . 4  |-  ( ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) )  <-> 
( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) ) )
23 elreal 7059 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  <->  E. e  e.  R.  <. e ,  0R >.  =  x )
2423biimpi 118 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  E. e  e.  R.  <. e ,  0R >.  =  x )
2524ad2antlr 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  ->  E. e  e.  R.  <. e ,  0R >.  =  x )
26 simplrr 503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) )
2726ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) )
28 simprr 499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  <. e ,  0R >.  =  x )
29 simplr 497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  -> 
0  <RR  x )
30 df-0 7050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
3130breq1i 3800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 
<RR  <. e ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. e ,  0R >. )
32 ltresr 7069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. e ,  0R >.  <->  0R  <R  e )
3331, 32bitri 182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 
<RR  <. e ,  0R >.  <-> 
0R  <R  e )
34 breq2 3797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
e ,  0R >.  =  x  ->  ( 0 
<RR  <. e ,  0R >.  <->  0  <RR  x ) )
3533, 34syl5rbbr 193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
e ,  0R >.  =  x  ->  ( 0 
<RR  x  <->  0R  <R  e ) )
3635biimpa 290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. e ,  0R >.  =  x  /\  0  <RR  x )  ->  0R  <R  e )
3728, 29, 36syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  0R  <R  e )
38 breq2 3797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  e  ->  ( 0R  <R  a  <->  0R  <R  e ) )
39 oveq2 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  e  ->  (
b  +R  a )  =  ( b  +R  e ) )
4039breq2d 3805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  e  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  <->  ( G `  d )  <R  (
b  +R  e ) ) )
41 oveq2 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  e  ->  (
( G `  d
)  +R  a )  =  ( ( G `
 d )  +R  e ) )
4241breq2d 3805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  e  ->  (
b  <R  ( ( G `
 d )  +R  a )  <->  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) )
4340, 42anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( G `  d )  <R  (
b  +R  a )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  a ) )  <->  ( ( G `
 d )  <R 
( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) )
4443imbi2d 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  e  ->  (
( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  a )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  a ) ) )  <->  ( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )
4544rexralbidv 2393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  e  ->  ( E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) )  <->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )
4638, 45imbi12d 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  e  ->  (
( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) )  <-> 
( 0R  <R  e  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) ) ) )
4746rspcv 2698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  R.  ->  ( A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) )  ->  ( 0R  <R  e  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) ) ) )
4847ad2antrl 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  -> 
( A. a  e. 
R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) )  ->  ( 0R  <R  e  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) ) ) )
4927, 37, 48mp2d 46 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) )
50 breq1 3796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  f  ->  (
c  <N  d  <->  f  <N  d ) )
5150imbi1d 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  f  ->  (
( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) )  <->  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )
5251ralbidv 2369 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  f  ->  ( A. d  e.  N.  ( c  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) )  <->  A. d  e.  N.  ( f  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )
5352cbvrexv 2579 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) )  <->  E. f  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( f  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) )
5449, 53sylib 120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  E. f  e.  N.  A. d  e.  N.  (
f  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  e
) ) ) )
55 pitonn 7078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  N.  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
5655, 1syl6eleqr 2173 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  N.  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  N )
5756ad2antrl 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  ->  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  N )
581nntopi 7122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  N  ->  E. g  e.  N.  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k )
5958adantl 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  E. g  e.  N.  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k )
60 simprl 498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  g  e.  N. )
61 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  A. d  e.  N.  ( f  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) )
6261adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  A. d  e.  N.  ( f  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  e ) ) ) )
63 breq2 3797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  g  ->  (
f  <N  d  <->  f  <N  g ) )
64 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  g  ->  ( G `  d )  =  ( G `  g ) )
6564breq1d 3803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  g  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  e )  <->  ( G `  g )  <R  (
b  +R  e ) ) )
6664oveq1d 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  g  ->  (
( G `  d
)  +R  e )  =  ( ( G `
 g )  +R  e ) )
6766breq2d 3805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  g  ->  (
b  <R  ( ( G `
 d )  +R  e )  <->  b  <R  ( ( G `  g
)  +R  e ) ) )
6865, 67anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  g  ->  (
( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) )  <->  ( ( G `
 g )  <R 
( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  g
)  +R  e ) ) ) )
6963, 68imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  g  ->  (
( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) )  <->  ( f  <N  g  ->  ( ( G `  g )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  g
)  +R  e ) ) ) ) )
7069rspcv 2698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  N.  ->  ( A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) )  ->  (
f  <N  g  ->  (
( G `  g
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  g )  +R  e
) ) ) ) )
7160, 62, 70sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( f  <N  g  ->  ( ( G `  g )  <R  ( b  +R  e
)  /\  b  <R  ( ( G `  g
)  +R  e ) ) ) )
72 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  f  e.  N. )
7372adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  f  e.  N. )
74 ltrennb 7084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  <N  g  <->  <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
7573, 60, 74syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( f  <N  g  <->  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
76 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k )
7776breq2d 3805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. 
<-> 
<. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k ) )
7875, 77bitrd 186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( f  <N  g  <->  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k ) )
79 ltresr 7069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( G `  g
) ,  0R >.  <RR  <. ( b  +R  e
) ,  0R >.  <->  ( G `  g )  <R  ( b  +R  e
) )
80 simplll 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  ->  ph )
8180ad4antr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ph )
821, 2, 3, 4axcaucvglemval 7125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  g  e.  N. )  ->  ( F `
 <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  g ) ,  0R >. )
8381, 60, 82syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  <. ( G `  g ) ,  0R >. )
8476fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( F `  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )  =  ( F `  k ) )
8583, 84eqtr3d 2116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. ( G `
 g ) ,  0R >.  =  ( F `  k )
)
86 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  b  e.  R. )
8786ad5antr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  b  e.  R. )
88 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  ->  e  e.  R. )
8988ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  e  e.  R. )
90 addresr 7067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  R.  /\  e  e.  R. )  ->  ( <. b ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  <. (
b  +R  e ) ,  0R >. )
9187, 89, 90syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. b ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  <. ( b  +R  e ) ,  0R >. )
9228oveq2d 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  -> 
( <. b ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  ( <.
b ,  0R >.  +  x ) )
9392ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. b ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  ( <. b ,  0R >.  +  x
) )
9491, 93eqtr3d 2116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. ( b  +R  e ) ,  0R >.  =  ( <. b ,  0R >.  +  x ) )
9585, 94breq12d 3806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. ( G `  g ) ,  0R >.  <RR  <. (
b  +R  e ) ,  0R >.  <->  ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x ) ) )
9679, 95syl5bbr 192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( ( G `  g )  <R  ( b  +R  e
)  <->  ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x ) ) )
97 ltresr 7069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
b ,  0R >.  <RR  <. ( ( G `  g )  +R  e
) ,  0R >.  <->  b  <R  ( ( G `  g )  +R  e
) )
9881, 5syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  G : N.
--> R. )
9998, 60ffvelrnd 5335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( G `  g )  e.  R. )
100 addresr 7067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G `  g
)  e.  R.  /\  e  e.  R. )  ->  ( <. ( G `  g ) ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  <. (
( G `  g
)  +R  e ) ,  0R >. )
10199, 89, 100syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. ( G `  g ) ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  <. ( ( G `
 g )  +R  e ) ,  0R >. )
10228ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. e ,  0R >.  =  x
)
10385, 102oveq12d 5561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. ( G `  g ) ,  0R >.  +  <. e ,  0R >. )  =  ( ( F `
 k )  +  x ) )
104101, 103eqtr3d 2116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  <. ( ( G `  g )  +R  e ) ,  0R >.  =  (
( F `  k
)  +  x ) )
105104breq2d 3805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. b ,  0R >.  <RR  <. (
( G `  g
)  +R  e ) ,  0R >.  <->  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )
10697, 105syl5bbr 192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( b  <R  ( ( G `  g )  +R  e
)  <->  <. b ,  0R >. 
<RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
10796, 106anbi12d 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( (
( G `  g
)  <R  ( b  +R  e )  /\  b  <R  ( ( G `  g )  +R  e
) )  <->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
10871, 78, 1073imtr3d 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  ( g  e.  N.  /\  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. g ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  =  k ) )  ->  ( <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
10959, 108rexlimddv 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( <. [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
110109ralrimiva 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  ->  A. k  e.  N  ( <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
111 breq1 3796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  ->  ( j  <RR  k  <->  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k ) )
112111imbi1d 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  ->  ( (
j  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  ( <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
113112ralbidv 2369 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  ->  ( A. k  e.  N  (
j  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  A. k  e.  N  ( <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
114113rspcev 2702 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  e.  N  /\  A. k  e.  N  (
<. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. f ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  k  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
)  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
11557, 110, 114syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  /\  ( f  e.  N.  /\ 
A. d  e.  N.  ( f  <N  d  ->  ( ( G `  d )  <R  (
b  +R  e )  /\  b  <R  (
( G `  d
)  +R  e ) ) ) ) )  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
11654, 115rexlimddv 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  /\  (
e  e.  R.  /\  <.
e ,  0R >.  =  x ) )  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
11725, 116rexlimddv 2482 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  R.  /\ 
A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  /\  0  <RR  x )  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
118117ex 113 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e. 
N.  ( c  <N 
d  ->  ( ( G `  d )  <R  ( b  +R  a
)  /\  b  <R  ( ( G `  d
)  +R  a ) ) ) ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
119118ralrimiva 2435 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. d  e.  N.  (
c  <N  d  ->  (
( G `  d
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  d )  +R  a
) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
12022, 119sylan2br 282 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )
121 oveq1 5550 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( y  +  x )  =  (
<. b ,  0R >.  +  x ) )
122121breq2d 3805 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( ( F `
 k )  <RR  ( y  +  x )  <-> 
( F `  k
)  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x
) ) )
123 breq1 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x )  <->  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
124122, 123anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( ( ( F `  k ) 
<RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) )  <->  ( ( F `
 k )  <RR  (
<. b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
125124imbi2d 228 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( ( j 
<RR  k  ->  ( ( F `  k ) 
<RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) )  <->  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
126125rexralbidv 2393 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) )  <->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) )
127126imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( ( 0 
<RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) )  <->  ( 0 
<RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( <. b ,  0R >.  +  x )  /\  <.
b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) ) ) )
128127ralbidv 2369 . . . 4  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `
 k )  +  x ) ) ) )  <->  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) ) )
129128rspcev 2702 . . 3  |-  ( (
<. b ,  0R >.  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( <.
b ,  0R >.  +  x )  /\  <. b ,  0R >.  <RR  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  (
0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) ) )
13010, 120, 129syl2anc 403 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  R.  /\  A. a  e.  R.  ( 0R  <R  a  ->  E. c  e.  N.  A. k  e.  N.  (
c  <N  k  ->  (
( G `  k
)  <R  ( b  +R  a )  /\  b  <R  ( ( G `  k )  +R  a
) ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  ( 0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  -> 
( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x )  /\  y  <RR  ( ( F `
 k )  +  x ) ) ) ) )
1317, 130rexlimddv 2482 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR  (
0  <RR  x  ->  E. j  e.  N  A. k  e.  N  ( j  <RR  k  ->  ( ( F `  k )  <RR  ( y  +  x
)  /\  y  <RR  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2068   A.wral 2349   E.wrex 2350   <.cop 3409   |^|cint 3644   class class class wbr 3793    |-> cmpt 3847   -->wf 4928   ` cfv 4932   iota_crio 5498  (class class class)co 5543   1oc1o 6058   [cec 6170   N.cnpi 6524    <N clti 6527    ~Q ceq 6531    <Q cltq 6537   1Pc1p 6544    +P. cpp 6545    ~R cer 6548   R.cnr 6549   0Rc0r 6550    +R cplr 6553    <R cltr 6555   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    <RR cltrr 7047    x. cmul 7048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-2o 6066  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-0nq0 6678  df-plq0 6679  df-mq0 6680  df-inp 6718  df-i1p 6719  df-iplp 6720  df-imp 6721  df-iltp 6722  df-enr 6965  df-nr 6966  df-plr 6967  df-mr 6968  df-ltr 6969  df-0r 6970  df-1r 6971  df-m1r 6972  df-c 7049  df-0 7050  df-1 7051  df-r 7053  df-add 7054  df-mul 7055  df-lt 7056
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