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Theorem axcaucvglemres 7707
Description: Lemma for axcaucvg 7708. Mapping the limit from N. and R.. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axcaucvg.n |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
axcaucvg.f |- ( ph -> F : N --> RR )
axcaucvg.cau |- ( ph -> A. n e. N A. k e. N ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
axcaucvg.g |- G = ( j e. N. |-> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. j , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) )
Assertion
Ref Expression
axcaucvglemres |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   k, F, j, n   y, F, j, k   z, F, j   k, G, x, l, u   n, G, l, u, z   k, N, j, n   y, N, x   ph, k, x   j, l, u, y   ph, j, x   k, r, l, n, u   z, l, u   ph, n   x, y   j, n, z, k   x, l, u
Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, r, l)   F( x, u, r, l)   G( y, j, r)   N( z, u, r, l)
Proof of Theorem axcaucvglemres
Dummy variables b e f g a c d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axcaucvg.n . . . 4 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2 axcaucvg.f . . . 4 |- ( ph -> F : N --> RR )
3 axcaucvg.cau . . . 4 |- ( ph -> A. n e. N A. k e. N ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
4 axcaucvg.g . . . 4 |- G = ( j e. N. |-> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. j , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) )
51, 2, 3, 4axcaucvglemf 7704 . . 3 |- ( ph -> G : N. --> R. )
61, 2, 3, 4axcaucvglemcau 7706 . . 3 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( G ` n ) <R ( ( G ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( G ` k ) <R ( ( G ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
75, 6caucvgsr 7610 . 2 |- ( ph -> E. b e. R. A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) )
8 opelreal 7635 . . . . 5 |- ( <. b , 0R >. e. RR <-> b e. R. )
98biimpri 132 . . . 4 |- ( b e. R. -> <. b , 0R >. e. RR )
109ad2antrl 481 . . 3 |- ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) ) ) -> <. b , 0R >. e. RR )
11 breq2 3933 . . . . . . . . . 10 |- ( d = k -> ( c <N d <-> c <N k ) )
12 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12 |- ( d = k -> ( G ` d ) = ( G ` k ) )
1312breq1d 3939 . . . . . . . . . . 11 |- ( d = k -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) <-> ( G ` k ) <R ( b +R a ) ) )
1412oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . 12 |- ( d = k -> ( ( G ` d ) +R a ) = ( ( G ` k ) +R a ) )
1514breq2d 3941 . . . . . . . . . . 11 |- ( d = k -> ( b <R ( ( G ` d ) +R a ) <-> b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) )
1613, 15anbi12d 464 . . . . . . . . . 10 |- ( d = k -> ( ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) <-> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) )
1711, 16imbi12d 233 . . . . . . . . 9 |- ( d = k -> ( ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) )
1817cbvralv 2654 . . . . . . . 8 |- ( A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) )
1918rexbii 2442 . . . . . . 7 |- ( E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) )
2019imbi2i 225 . . . . . 6 |- ( ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) <-> ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) )
2120ralbii 2441 . . . . 5 |- ( A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) <-> A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) )
2221anbi2i 452 . . . 4 |- ( ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) <-> ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) ) )
23 elreal 7636 . . . . . . . . 9 |- ( x e. RR <-> E. e e. R. <. e , 0R >. = x )
2423biimpi 119 . . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> E. e e. R. <. e , 0R >. = x )
2524ad2antlr 480 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) -> E. e e. R. <. e , 0R >. = x )
26 simplrr 525 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) -> A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) )
2726ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) )
28 simprr 521 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> <. e , 0R >. = x )
29 simplr 519 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> 0 <RR x )
30 df-0 7627 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 = <. 0R , 0R >.
3130breq1i 3936 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 <RR <. e , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. e , 0R >. )
32 ltresr 7647 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. e , 0R >. <-> 0R <R e )
3331, 32bitri 183 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 <RR <. e , 0R >. <-> 0R <R e )
34 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. e , 0R >. = x -> ( 0 <RR <. e , 0R >. <-> 0 <RR x ) )
3533, 34syl5rbbr 194 . . . . . . . . . . . 12 |- ( <. e , 0R >. = x -> ( 0 <RR x <-> 0R <R e ) )
3635biimpa 294 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( <. e , 0R >. = x /\ 0 <RR x ) -> 0R <R e )
3728, 29, 36syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> 0R <R e )
38 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = e -> ( 0R <R a <-> 0R <R e ) )
39 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = e -> ( b +R a ) = ( b +R e ) )
4039breq2d 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = e -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) <-> ( G ` d ) <R ( b +R e ) ) )
41 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = e -> ( ( G ` d ) +R a ) = ( ( G ` d ) +R e ) )
4241breq2d 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = e -> ( b <R ( ( G ` d ) +R a ) <-> b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) )
4340, 42anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = e -> ( ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) <-> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
4443imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = e -> ( ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) )
4544rexralbidv 2461 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = e -> ( E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) <-> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) )
4638, 45imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = e -> ( ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) <-> ( 0R <R e -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) )
4746rspcv 2785 . . . . . . . . . . 11 |- ( e e. R. -> ( A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) -> ( 0R <R e -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) )
4847ad2antrl 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> ( A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) -> ( 0R <R e -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) )
4927, 37, 48mp2d 47 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
50 breq1 3932 . . . . . . . . . . . 12 |- ( c = f -> ( c <N d <-> f <N d ) )
5150imbi1d 230 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = f -> ( ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) <-> ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) )
5251ralbidv 2437 . . . . . . . . . 10 |- ( c = f -> ( A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) <-> A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) )
5352cbvrexv 2655 . . . . . . . . 9 |- ( E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) <-> E. f e. N. A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
5449, 53sylib 121 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> E. f e. N. A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
55 pitonn 7656 . . . . . . . . . . 11 |- ( f e. N. -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
5655, 1eleqtrrdi 2233 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. N. -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. N )
5756ad2antrl 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. N )
581nntopi 7702 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. N -> E. g e. N. <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k )
5958adantl 275 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) -> E. g e. N. <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k )
60 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = g -> ( f <N d <-> f <N g ) )
61 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = g -> ( G ` d ) = ( G ` g ) )
6261breq1d 3939 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = g -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) <-> ( G ` g ) <R ( b +R e ) ) )
6361oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = g -> ( ( G ` d ) +R e ) = ( ( G ` g ) +R e ) )
6463breq2d 3941 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = g -> ( b <R ( ( G ` d ) +R e ) <-> b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) )
6562, 64anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = g -> ( ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) <-> ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) ) )
6660, 65imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = g -> ( ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) <-> ( f <N g -> ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) ) ) )
67 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) -> A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
6867adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) )
69 simprl 520 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> g e. N. )
7066, 68, 69rspcdva 2794 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( f <N g -> ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) ) )
71 simplrl 524 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) -> f e. N. )
7271adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> f e. N. )
73 ltrennb 7662 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f <N g <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )
7472, 69, 73syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( f <N g <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )
75 simprr 521 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k )
7675breq2d 3941 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k ) )
7774, 76bitrd 187 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( f <N g <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k ) )
78 ltresr 7647 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( G ` g ) , 0R >. <RR <. ( b +R e ) , 0R >. <-> ( G ` g ) <R ( b +R e ) )
79 simplll 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) -> ph )
8079ad4antr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ph )
811, 2, 3, 4axcaucvglemval 7705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ g e. N. ) -> ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. ( G ` g ) , 0R >. )
8280, 69, 81syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. ( G ` g ) , 0R >. )
8375fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = ( F ` k ) )
8482, 83eqtr3d 2174 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. ( G ` g ) , 0R >. = ( F ` k ) )
85 simplrl 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) -> b e. R. )
8685ad5antr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> b e. R. )
87 simplrl 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) -> e e. R. )
8887ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> e e. R. )
89 addresr 7645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. R. /\ e e. R. ) -> ( <. b , 0R >. + <. e , 0R >. ) = <. ( b +R e ) , 0R >. )
9086, 88, 89syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. b , 0R >. + <. e , 0R >. ) = <. ( b +R e ) , 0R >. )
9128oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> ( <. b , 0R >. + <. e , 0R >. ) = ( <. b , 0R >. + x ) )
9291ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. b , 0R >. + <. e , 0R >. ) = ( <. b , 0R >. + x ) )
9390, 92eqtr3d 2174 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. ( b +R e ) , 0R >. = ( <. b , 0R >. + x ) )
9484, 93breq12d 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. ( G ` g ) , 0R >. <RR <. ( b +R e ) , 0R >. <-> ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) ) )
9578, 94syl5bbr 193 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) <-> ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) ) )
96 ltresr 7647 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. b , 0R >. <RR <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. <-> b <R ( ( G ` g ) +R e ) )
9780, 5syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> G : N. --> R. )
9897, 69ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( G ` g ) e. R. )
99 addresr 7645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G ` g ) e. R. /\ e e. R. ) -> ( <. ( G ` g ) , 0R >. + <. e , 0R >. ) = <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. )
10098, 88, 99syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. ( G ` g ) , 0R >. + <. e , 0R >. ) = <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. )
10128ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. e , 0R >. = x )
10284, 101oveq12d 5792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. ( G ` g ) , 0R >. + <. e , 0R >. ) = ( ( F ` k ) + x ) )
103100, 102eqtr3d 2174 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. = ( ( F ` k ) + x ) )
104103breq2d 3941 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. b , 0R >. <RR <. ( ( G ` g ) +R e ) , 0R >. <-> <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
10596, 104syl5bbr 193 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( b <R ( ( G ` g ) +R e ) <-> <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
10695, 105anbi12d 464 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( ( ( G ` g ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` g ) +R e ) ) <-> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
10770, 77, 1063imtr3d 201 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) /\ ( g e. N. /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. g , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. g , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. = k ) ) -> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
10859, 107rexlimddv 2554 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) /\ k e. N ) -> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
109108ralrimiva 2505 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) -> A. k e. N ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
110 breq1 3932 . . . . . . . . . . . 12 |- ( j = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. -> ( j <RR k <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k ) )
111110imbi1d 230 . . . . . . . . . . 11 |- ( j = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. -> ( ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
112111ralbidv 2437 . . . . . . . . . 10 |- ( j = <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. -> ( A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> A. k e. N ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
113112rspcev 2789 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. N /\ A. k e. N ( <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. f , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. f , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
11457, 109, 113syl2anc 408 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) /\ ( f e. N. /\ A. d e. N. ( f <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R e ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R e ) ) ) ) ) -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
11554, 114rexlimddv 2554 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) /\ ( e e. R. /\ <. e , 0R >. = x ) ) -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
11625, 115rexlimddv 2554 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) /\ 0 <RR x ) -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
117116ex 114 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) /\ x e. RR ) -> ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
118117ralrimiva 2505 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. d e. N. ( c <N d -> ( ( G ` d ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` d ) +R a ) ) ) ) ) ) -> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
11922, 118sylan2br 286 . . 3 |- ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) ) ) -> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
120 oveq1 5781 . . . . . . . . . 10 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( y + x ) = ( <. b , 0R >. + x ) )
121120breq2d 3941 . . . . . . . . 9 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) <-> ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) ) )
122 breq1 3932 . . . . . . . . 9 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( y <RR ( ( F ` k ) + x ) <-> <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
123121, 122anbi12d 464 . . . . . . . 8 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
124123imbi2d 229 . . . . . . 7 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
125124rexralbidv 2461 . . . . . 6 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
126125imbi2d 229 . . . . 5 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) <-> ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) ) )
127126ralbidv 2437 . . . 4 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) <-> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) ) )
128127rspcev 2789 . . 3 |- ( ( <. b , 0R >. e. RR /\ A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( <. b , 0R >. + x ) /\ <. b , 0R >. <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
12910, 119, 128syl2anc 408 . 2 |- ( ( ph /\ ( b e. R. /\ A. a e. R. ( 0R <R a -> E. c e. N. A. k e. N. ( c <N k -> ( ( G ` k ) <R ( b +R a ) /\ b <R ( ( G ` k ) +R a ) ) ) ) ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
1307, 129rexlimddv 2554 1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. j e. N A. k e. N ( j <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   <.cop 3530   |^|cint 3771   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   -->wf 5119   ` cfv 5123   iota_crio 5729  (class class class)co 5774   1oc1o 6306   [cec 6427   N.cnpi 7080   <N clti 7083   ~Q ceq 7087   <Q cltq 7093   1Pc1p 7100   +P. cpp 7101   ~R cer 7104   R.cnr 7105   0Rc0r 7106   +R cplr 7109   <R cltr 7111   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   <RR cltrr 7624   x. cmul 7625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-iplp 7276  df-imp 7277  df-iltp 7278  df-enr 7534  df-nr 7535  df-plr 7536  df-mr 7537  df-ltr 7538  df-0r 7539  df-1r 7540  df-m1r 7541  df-c 7626  df-0 7627  df-1 7628  df-r 7630  df-add 7631  df-mul 7632  df-lt 7633
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