ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opeq2 Unicode version

Theorem opeq2 3573
Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
opeq2  |-  ( A  =  B  ->  <. C ,  A >.  =  <. C ,  B >. )

Proof of Theorem opeq2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2142 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
21anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
( C  e.  _V  /\  A  e.  _V )  <->  ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V )
) )
3 eqidd 2083 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { C }  =  { C } )
4 preq2 3472 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { C ,  A }  =  { C ,  B }
)
53, 4preq12d 3479 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { { C } ,  { C ,  A } }  =  { { C } ,  { C ,  B } } )
65eleq2d 2149 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
x  e.  { { C } ,  { C ,  A } }  <->  x  e.  { { C } ,  { C ,  B } } ) )
72, 6anbi12d 457 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  (
( ( C  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  x  e.  { { C } ,  { C ,  A } } )  <->  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  x  e.  { { C } ,  { C ,  B } } ) ) )
8 df-3an 922 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  x  e.  { { C } ,  { C ,  A } } )  <->  ( ( C  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  x  e.  { { C } ,  { C ,  A } } ) )
9 df-3an 922 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { C } ,  { C ,  B } } )  <->  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  x  e.  { { C } ,  { C ,  B } } ) )
107, 8, 93bitr4g 221 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
( C  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  x  e.  { { C } ,  { C ,  A } } )  <-> 
( C  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { C } ,  { C ,  B } } ) ) )
1110abbidv 2197 . 2  |-  ( A  =  B  ->  { x  |  ( C  e. 
_V  /\  A  e.  _V  /\  x  e.  { { C } ,  { C ,  A } } ) }  =  { x  |  ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e. 
{ { C } ,  { C ,  B } } ) } )
12 df-op 3409 . 2  |-  <. C ,  A >.  =  { x  |  ( C  e. 
_V  /\  A  e.  _V  /\  x  e.  { { C } ,  { C ,  A } } ) }
13 df-op 3409 . 2  |-  <. C ,  B >.  =  { x  |  ( C  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { C } ,  { C ,  B } } ) }
1411, 12, 133eqtr4g 2139 1  |-  ( A  =  B  ->  <. C ,  A >.  =  <. C ,  B >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2068   _Vcvv 2602   {csn 3400   {cpr 3401   <.cop 3403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-v 2604  df-un 2978  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409
This theorem is referenced by:  opeq12  3574  opeq2i  3576  opeq2d  3579  oteq2  3582  oteq3  3583  breq2  3791  cbvopab2  3854  cbvopab2v  3857  opthg  3995  eqvinop  4000  opelopabsb  4017  opelxp  4394  opabid2  4489  elrn2g  4547  opeldm  4560  opeldmg  4562  elrn2  4598  opelresg  4641  iss  4678  elimasng  4717  issref  4731  dmsnopg  4816  cnvsng  4830  elxp4  4832  elxp5  4833  dffun5r  4938  funopg  4958  f1osng  5192  tz6.12f  5228  fsn  5361  fsng  5362  fvsng  5385  oveq2  5545  cbvoprab2  5602  ovg  5664  opabex3d  5773  opabex3  5774  op1stg  5802  op2ndg  5803  op1steq  5830  dfoprab4f  5844  tfrlemibxssdm  5970  tfr1onlembxssdm  5986  tfrcllembxssdm  5999  xpsnen  6355  xpassen  6364  xpf1o  6375  elreal  7048  ax1rid  7094  fseq1p1m1  9176
  Copyright terms: Public domain W3C validator