Theorem suceq 4324

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	|- ( A = B -> suc A = suc B )

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 |- ( A = B -> A = B )
2		sneq 3538	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
3	1, 2	uneq12d 3231	. 2 |- ( A = B -> ( A u. { A } ) = ( B u. { B } ) )
4		df-suc 4293	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
5		df-suc 4293	. 2 |- suc B = ( B u. { B } )
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2197	1 |- ( A = B -> suc A = suc B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   u. cun 3069   {csn 3527   suc csuc 4287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-suc 4293

This theorem is referenced by:  eqelsuc  4341  2ordpr  4439  onsucsssucexmid  4442  onsucelsucexmid  4445  ordsucunielexmid  4446  suc11g  4472  onsucuni2  4479  0elsucexmid  4480  ordpwsucexmid  4485  peano2  4509  findes  4517  nn0suc  4518  0elnn  4532  omsinds  4535  tfr1onlemsucaccv  6238  tfrcllemsucaccv  6251  tfrcl  6261  frecabcl  6296  frecsuc  6304  sucinc  6341  sucinc2  6342  oacl  6356  oav2  6359  oasuc  6360  oa1suc  6363  nna0r  6374  nnacom  6380  nnaass  6381  nnmsucr  6384  nnsucelsuc  6387  nnsucsssuc  6388  nnaword  6407  nnaordex  6423  phplem3g  6750  nneneq  6751  php5  6752  php5dom  6757  omp1eomlem  6979  omp1eom  6980  indpi  7150  ennnfoneleminc  11924  ennnfonelemex  11927  bj-indsuc  13126  bj-bdfindes  13147  bj-nn0suc0  13148  bj-peano4  13153  bj-inf2vnlem1  13168  bj-nn0sucALT  13176  bj-findes  13179  nnsf  13199  nninfalllemn  13202  nninfsellemdc  13206  nninfself  13209  nninfsellemeqinf  13212  nninfomni  13215