Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgprprlemnbj Unicode version

Theorem caucvgprprlemnbj 6848
 Description: Lemma for caucvgprpr 6867. Non-existence of two elements of the sequence which are too far from each other. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgprpr.f
caucvgprpr.cau
caucvgprprlemnbj.b
caucvgprprlemnbj.j
Assertion
Ref Expression
caucvgprprlemnbj
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,)

Proof of Theorem caucvgprprlemnbj
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgprpr.f . . . . . . 7
2 caucvgprpr.cau . . . . . . 7
31, 2caucvgprprlemval 6843 . . . . . 6
43simprd 111 . . . . 5
5 caucvgprprlemnbj.b . . . . . . . . 9
61, 5ffvelrnd 5330 . . . . . . . 8
7 recnnpr 6703 . . . . . . . . 9
85, 7syl 14 . . . . . . . 8
9 addclpr 6692 . . . . . . . 8
106, 8, 9syl2anc 397 . . . . . . 7
11 caucvgprprlemnbj.j . . . . . . . 8
12 recnnpr 6703 . . . . . . . 8
1311, 12syl 14 . . . . . . 7
14 ltaddpr 6752 . . . . . . 7
1510, 13, 14syl2anc 397 . . . . . 6
1615adantr 265 . . . . 5
17 ltsopr 6751 . . . . . 6
18 ltrelpr 6660 . . . . . 6
1917, 18sotri 4747 . . . . 5
204, 16, 19syl2anc 397 . . . 4
21 ltaddpr 6752 . . . . . . . 8
226, 8, 21syl2anc 397 . . . . . . 7
2322adantr 265 . . . . . 6
24 fveq2 5205 . . . . . . . 8
2524breq1d 3801 . . . . . . 7
2625adantl 266 . . . . . 6
2723, 26mpbid 139 . . . . 5
2815adantr 265 . . . . 5
2927, 28, 19syl2anc 397 . . . 4
301, 2caucvgprprlemval 6843 . . . . . 6
3130simpld 109 . . . . 5
32 ltaprg 6774 . . . . . . . . 9
3332adantl 266 . . . . . . . 8
34 addcomprg 6733 . . . . . . . . 9
3534adantl 266 . . . . . . . 8
3633, 6, 10, 13, 35caovord2d 5697 . . . . . . 7
3722, 36mpbid 139 . . . . . 6
3837adantr 265 . . . . 5
3917, 18sotri 4747 . . . . 5
4031, 38, 39syl2anc 397 . . . 4
41 pitri3or 6477 . . . . 5
425, 11, 41syl2anc 397 . . . 4
4320, 29, 40, 42mpjao3dan 1213 . . 3
441, 11ffvelrnd 5330 . . . . 5
45 addclpr 6692 . . . . . 6
4610, 13, 45syl2anc 397 . . . . 5
47 so2nr 4085 . . . . . 6
4817, 47mpan 408 . . . . 5
4944, 46, 48syl2anc 397 . . . 4
50 imnan 634 . . . 4
5149, 50sylibr 141 . . 3
5243, 51mpd 13 . 2
53 breq1 3794 . . . . . . 7
5453cbvabv 2177 . . . . . 6
55 breq2 3795 . . . . . . 7
5655cbvabv 2177 . . . . . 6
5754, 56opeq12i 3581 . . . . 5
5857oveq2i 5550 . . . 4
59 breq1 3794 . . . . . 6
6059cbvabv 2177 . . . . 5
61 breq2 3795 . . . . . 6
6261cbvabv 2177 . . . . 5
6360, 62opeq12i 3581 . . . 4
6458, 63oveq12i 5551 . . 3
6564breq1i 3798 . 2
6652, 65sylnib 611 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 101   wb 102   w3o 895   w3a 896   wceq 1259   wcel 1409  cab 2042  wral 2323  cop 3405   class class class wbr 3791   wor 4059  wf 4925  cfv 4929  (class class class)co 5539  c1o 6024  cec 6134  cnpi 6427   clti 6430   ceq 6434  crq 6439   cltq 6440  cnp 6446   cpp 6448   cltp 6450 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-iplp 6623  df-iltp 6625 This theorem is referenced by:  caucvgprprlemaddq  6863
 Copyright terms: Public domain W3C validator