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Theorem nnaordex 6131
Description: Equivalence for ordering. Compare Exercise 23 of [Enderton] p. 88. (Contributed by NM, 5-Dec-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaordex  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nnaordex
Dummy variables  b  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2117 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A  e.  b  <->  A  e.  B ) )
2 eqeq2 2065 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  +o  x
)  =  b  <->  ( A  +o  x )  =  B ) )
32anbi2d 445 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b )  <-> 
( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
43rexbidv 2344 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b )  <->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
51, 4imbi12d 227 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  b  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b ) )  <->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) ) )
65imbi2d 223 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  e.  b  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b ) ) )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) ) ) )
7 eleq2 2117 . . . . . 6  |-  ( b  =  (/)  ->  ( A  e.  b  <->  A  e.  (/) ) )
8 eqeq2 2065 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x )  =  b  <->  ( A  +o  x )  =  (/) ) )
98anbi2d 445 . . . . . . 7  |-  ( b  =  (/)  ->  ( (
(/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b )  <-> 
( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  (/) ) ) )
109rexbidv 2344 . . . . . 6  |-  ( b  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  b )  <->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  (/) ) ) )
117, 10imbi12d 227 . . . . 5  |-  ( b  =  (/)  ->  ( ( A  e.  b  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b ) )  <->  ( A  e.  (/)  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  (/) ) ) ) )
12 eleq2 2117 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  ( A  e.  b  <->  A  e.  y ) )
13 eqeq2 2065 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  =  b  <->  ( A  +o  x )  =  y ) )
1413anbi2d 445 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b )  <-> 
( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )
1514rexbidv 2344 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  ( E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b )  <->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )
1612, 15imbi12d 227 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
( A  e.  b  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b ) )  <->  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) ) )
17 eleq2 2117 . . . . . 6  |-  ( b  =  suc  y  -> 
( A  e.  b  <-> 
A  e.  suc  y
) )
18 eqeq2 2065 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  =  b  <-> 
( A  +o  x
)  =  suc  y
) )
1918anbi2d 445 . . . . . . 7  |-  ( b  =  suc  y  -> 
( ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b )  <-> 
( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) )
2019rexbidv 2344 . . . . . 6  |-  ( b  =  suc  y  -> 
( E. x  e. 
om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b )  <->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) )
2117, 20imbi12d 227 . . . . 5  |-  ( b  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  b  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b ) )  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) ) )
22 noel 3256 . . . . . . 7  |-  -.  A  e.  (/)
2322pm2.21i 585 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (/)  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  (/) ) )
2423a1i 9 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  (/)  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  (/) ) ) )
25 elsuci 4168 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  suc  y  -> 
( A  e.  y  \/  A  =  y ) )
26 simpr 107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )  ->  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  y ) ) )
27 peano2 4346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  om  ->  suc  x  e.  om )
2827ad2antlr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  /\  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) )  ->  suc  x  e. 
om )
29 elelsuc 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  e.  x  ->  (/)  e.  suc  x )
3029a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( (/)  e.  x  -> 
(/)  e.  suc  x ) )
31 nnasuc 6086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  ( A  +o  x
) )
32 suceq 4167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  +o  x )  =  y  ->  suc  ( A  +o  x
)  =  suc  y
)
3331, 32sylan9eq 2108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  y )
3433ex 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( ( A  +o  x )  =  y  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  y ) )
3530, 34anim12d 322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  ( (/)  e.  suc  x  /\  ( A  +o  suc  x )  =  suc  y ) ) )
3635imp 119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  /\  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) )  ->  ( (/)  e.  suc  x  /\  ( A  +o  suc  x )  =  suc  y ) )
37 eleq2 2117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( (/)  e.  z  <->  (/)  e.  suc  x ) )
38 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( A  +o  z
)  =  ( A  +o  suc  x ) )
3938eqeq1d 2064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( ( A  +o  z )  =  suc  y 
<->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  y ) )
4037, 39anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( ( (/)  e.  z  /\  ( A  +o  z )  =  suc  y )  <->  ( (/)  e.  suc  x  /\  ( A  +o  suc  x )  =  suc  y ) ) )
4140rspcev 2673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( suc  x  e.  om  /\  ( (/)  e.  suc  x  /\  ( A  +o  suc  x )  =  suc  y ) )  ->  E. z  e.  om  ( (/)  e.  z  /\  ( A  +o  z
)  =  suc  y
) )
4228, 36, 41syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  /\  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) )  ->  E. z  e.  om  ( (/)  e.  z  /\  ( A  +o  z )  =  suc  y ) )
4342ex 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  E. z  e.  om  ( (/)  e.  z  /\  ( A  +o  z
)  =  suc  y
) ) )
4443rexlimdva 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  E. z  e.  om  ( (/)  e.  z  /\  ( A  +o  z
)  =  suc  y
) ) )
45 eleq2 2117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( (/) 
e.  z  <->  (/)  e.  x
) )
46 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  x
) )
4746eqeq1d 2064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( A  +o  z
)  =  suc  y  <->  ( A  +o  x )  =  suc  y ) )
4845, 47anbi12d 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( (/)  e.  z  /\  ( A  +o  z
)  =  suc  y
)  <->  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) )
4948cbvrexv 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  om  ( (/) 
e.  z  /\  ( A  +o  z )  =  suc  y )  <->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) )
5044, 49syl6ib 154 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) )
5150ad2antlr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )  ->  ( E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) )
5226, 51syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )  ->  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  suc  y ) ) )
53 0lt1o 6054 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  1o
5453a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  A  =  y )  -> 
(/)  e.  1o )
55 nnon 4360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
56 oa1suc 6078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  1o )  =  suc  A )
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  1o )  =  suc  A )
58 suceq 4167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  y  ->  suc  A  =  suc  y )
5957, 58sylan9eq 2108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  A  =  y )  ->  ( A  +o  1o )  =  suc  y )
60 1onn 6124 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  om
61 eleq2 2117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1o  ->  ( (/) 
e.  x  <->  (/)  e.  1o ) )
62 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1o  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  1o ) )
6362eqeq1d 2064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1o  ->  (
( A  +o  x
)  =  suc  y  <->  ( A  +o  1o )  =  suc  y ) )
6461, 63anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1o  ->  (
( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
)  <->  ( (/)  e.  1o  /\  ( A  +o  1o )  =  suc  y ) ) )
6564rspcev 2673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  ( (/)  e.  1o  /\  ( A  +o  1o )  =  suc  y ) )  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) )
6660, 65mpan 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  1o  /\  ( A  +o  1o )  =  suc  y )  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) )
6754, 59, 66syl2anc 397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  A  =  y )  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) )
6867ex 112 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  =  y  ->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  suc  y ) ) )
6968ad2antlr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )  ->  ( A  =  y  ->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  suc  y ) ) )
7052, 69jaod 647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )  ->  (
( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) )
7125, 70syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) )
7271exp31 350 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) ) ) )
7311, 16, 21, 24, 72finds2 4352 . . . 4  |-  ( b  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  b  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b ) ) ) )
746, 73vtoclga 2636 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) ) )
7574impcom 120 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
76 peano1 4345 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
77 nnaord 6113 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  x  e.  om  /\  A  e. 
om )  ->  ( (/) 
e.  x  <->  ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  x ) ) )
7876, 77mp3an1 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  x  <->  ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  x
) ) )
7978ancoms 259 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( (/)  e.  x  <->  ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  x
) ) )
80 nna0 6084 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
8180adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
8281eleq1d 2122 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  x )  <->  A  e.  ( A  +o  x
) ) )
8379, 82bitrd 181 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( (/)  e.  x  <->  A  e.  ( A  +o  x ) ) )
8483anbi1d 446 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  <-> 
( A  e.  ( A  +o  x )  /\  ( A  +o  x )  =  B ) ) )
85 eleq2 2117 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  x )  =  B  ->  ( A  e.  ( A  +o  x )  <->  A  e.  B ) )
8685biimpac 286 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( A  +o  x )  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  ->  A  e.  B
)
8784, 86syl6bi 156 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  ->  A  e.  B
) )
8887rexlimdva 2450 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  ->  A  e.  B
) )
8988adantr 265 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( E. x  e. 
om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  ->  A  e.  B
) )
9075, 89impbid 124 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    = wceq 1259    e. wcel 1409   E.wrex 2324   (/)c0 3252   Oncon0 4128   suc csuc 4130   omcom 4341  (class class class)co 5540   1oc1o 6025    +o coa 6029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036
This theorem is referenced by:  nnawordex  6132  ltexpi  6493
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