Theorem eldif 3080

Description: Expansion of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldif	|- ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) )

Proof of Theorem eldif

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2697	. 2 |- ( A e. ( B \ C ) -> A e. _V )
2		elex 2697	. . 3 |- ( A e. B -> A e. _V )
3	2	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. B /\ -. A e. C ) -> A e. _V )
4		eleq1 2202	. . . 4 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
5		eleq1 2202	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. C <-> A e. C ) )
6	5	notbid 656	. . . 4 |- ( x = A -> ( -. x e. C <-> -. A e. C ) )
7	4, 6	anbi12d 464	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x e. B /\ -. x e. C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) ) )
8		df-dif 3073	. . 3 |- ( B \ C ) = { x | ( x e. B /\ -. x e. C ) }
9	7, 8	elab2g 2831	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) ) )
10	1, 3, 9	pm5.21nii 693	1 |- ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   \ cdif 3068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-dif 3073

This theorem is referenced by:  eldifd  3081  eldifad  3082  eldifbd  3083  difeqri  3196  eldifi  3198  eldifn  3199  difdif  3201  ddifstab  3208  ssconb  3209  sscon  3210  ssdif  3211  raldifb  3216  dfss4st  3309  ssddif  3310  unssdif  3311  inssdif  3312  difin  3313  unssin  3315  inssun  3316  invdif  3318  indif  3319  difundi  3328  difindiss  3330  indifdir  3332  undif3ss  3337  difin2  3338  symdifxor  3342  dfnul2  3365  reldisj  3414  disj3  3415  undif4  3425  ssdif0im  3427  inssdif0im  3430  ssundifim  3446  eldifsn  3650  difprsnss  3658  iundif2ss  3878  iindif2m  3880  brdif  3981  unidif0  4091  eldifpw  4398  elirr  4456  en2lp  4469  difopab  4672  intirr  4925  cnvdif  4945  imadiflem  5202  imadif  5203  elfi2  6860  xrlenlt  7829  nzadd  9106  irradd  9438  irrmul  9439  fzdifsuc  9861  fisumss  11161  inffinp1  11942