ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemcl GIF version

Theorem cauappcvgprlemcl 6808
Description: Lemma for cauappcvgpr 6817. The putative limit is a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemcl (𝜑𝐿P)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemcl
Dummy variables 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cauappcvgpr.f . . . 4 (𝜑𝐹:QQ)
2 cauappcvgpr.app . . . 4 (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
3 cauappcvgpr.bnd . . . 4 (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
4 cauappcvgpr.lim . . . 4 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
51, 2, 3, 4cauappcvgprlemm 6800 . . 3 (𝜑 → (∃𝑠Q 𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
6 ssrab2 3052 . . . . . 6 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ⊆ Q
7 nqex 6518 . . . . . . 7 Q ∈ V
87elpw2 3938 . . . . . 6 ({𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ 𝒫 Q ↔ {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ⊆ Q)
96, 8mpbir 138 . . . . 5 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ 𝒫 Q
10 ssrab2 3052 . . . . . 6 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ⊆ Q
117elpw2 3938 . . . . . 6 ({𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ 𝒫 Q ↔ {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ⊆ Q)
1210, 11mpbir 138 . . . . 5 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ 𝒫 Q
13 opelxpi 4403 . . . . 5 (({𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ 𝒫 Q ∧ {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ 𝒫 Q) → ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
149, 12, 13mp2an 410 . . . 4 ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
154, 14eqeltri 2126 . . 3 𝐿 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
165, 15jctil 299 . 2 (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) ∧ (∃𝑠Q 𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
171, 2, 3, 4cauappcvgprlemrnd 6805 . . 3 (𝜑 → (∀𝑠Q (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿))) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))))
181, 2, 3, 4cauappcvgprlemdisj 6806 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠Q ¬ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
191, 2, 3, 4cauappcvgprlemloc 6807 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠Q𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
2017, 18, 193jca 1095 . 2 (𝜑 → ((∀𝑠Q (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿))) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))) ∧ ∀𝑠Q ¬ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)) ∧ ∀𝑠Q𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))))
21 elnp1st2nd 6631 . 2 (𝐿P ↔ ((𝐿 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) ∧ (∃𝑠Q 𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ (2nd𝐿))) ∧ ((∀𝑠Q (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿))) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))) ∧ ∀𝑠Q ¬ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)) ∧ ∀𝑠Q𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))))
2216, 20, 21sylanbrc 402 1 (𝜑𝐿P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  wrex 2324  {crab 2327  wss 2944  𝒫 cpw 3386  cop 3405   class class class wbr 3791   × cxp 4370  wf 4925  cfv 4929  (class class class)co 5539  1st c1st 5792  2nd c2nd 5793  Qcnq 6435   +Q cplq 6437   <Q cltq 6440  Pcnp 6446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-inp 6621
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladdfu  6809  cauappcvgprlemladdfl  6810  cauappcvgprlemladdru  6811  cauappcvgprlemladdrl  6812  cauappcvgprlemladd  6813  cauappcvgprlem1  6814  cauappcvgprlem2  6815  cauappcvgpr  6817
  Copyright terms: Public domain W3C validator