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Theorem cauappcvgprlemdisj 6777
 Description: Lemma for cauappcvgpr 6788. The putative limit is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemdisj (𝜑 → ∀𝑠Q ¬ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemdisj
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cauappcvgpr.app . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
2 simpl 106 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
32ralimi 2399 . . . . . . . 8 (∀𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑞Q (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
43ralimi 2399 . . . . . . 7 (∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑝Q𝑞Q (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
51, 4syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
65adantr 265 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) → ∀𝑝Q𝑞Q (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
7 oveq1 5544 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
87breq1d 3799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
98rexbidv 2342 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
10 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
1110fveq2i 5206 . . . . . . . . . . . 12 (1st𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
12 nqex 6489 . . . . . . . . . . . . . 14 Q ∈ V
1312rabex 3926 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ V
1412rabex 3926 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
1513, 14op1st 5798 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
1611, 15eqtri 2074 . . . . . . . . . . 11 (1st𝐿) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
179, 16elrab2 2720 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
1817simprbi 264 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (1st𝐿) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
19 oveq2 5545 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑝 → (𝑠 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑝))
20 fveq2 5203 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑝 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑝))
2119, 20breq12d 3802 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝)))
2221cbvrexv 2549 . . . . . . . . 9 (∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑝Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝))
2318, 22sylib 131 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (1st𝐿) → ∃𝑝Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝))
24 breq2 3793 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
2524rexbidv 2342 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
2610fveq2i 5206 . . . . . . . . . . 11 (2nd𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
2713, 14op2nd 5799 . . . . . . . . . . 11 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
2826, 27eqtri 2074 . . . . . . . . . 10 (2nd𝐿) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
2925, 28elrab2 2720 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (2nd𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
3029simprbi 264 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (2nd𝐿) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
3123, 30anim12i 325 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → (∃𝑝Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
32 reeanv 2494 . . . . . . 7 (∃𝑝Q𝑞Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ (∃𝑝Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
3331, 32sylibr 141 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → ∃𝑝Q𝑞Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
3433adantl 266 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) → ∃𝑝Q𝑞Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
356, 34r19.29d2r 2470 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) → ∃𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
36 simprl 491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝))
37 simpl 106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
3836, 37jca 294 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
3917simplbi 263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (1st𝐿) → 𝑠Q)
4039adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → 𝑠Q)
4140ad3antlr 470 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → 𝑠Q)
42 simplr 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → 𝑝Q)
43 addclnq 6501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠Q𝑝Q) → (𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q)
4441, 42, 43syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q)
45 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:QQ)
4645ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → 𝐹:QQ)
4746, 42ffvelrnd 5328 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (𝐹𝑝) ∈ Q)
48 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → 𝑞Q)
4946, 48ffvelrnd 5328 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (𝐹𝑞) ∈ Q)
50 addclnq 6501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝Q𝑞Q) → (𝑝 +Q 𝑞) ∈ Q)
5142, 48, 50syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (𝑝 +Q 𝑞) ∈ Q)
52 addclnq 6501 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑞) ∈ Q ∧ (𝑝 +Q 𝑞) ∈ Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q)
5349, 51, 52syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q)
54 ltsonq 6524 . . . . . . . . . . . . 13 <Q Or Q
55 sotr 4080 . . . . . . . . . . . . 13 (( <Q Or Q ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q ∧ (𝐹𝑝) ∈ Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q)) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
5654, 55mpan 408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 +Q 𝑝) ∈ Q ∧ (𝐹𝑝) ∈ Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∈ Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
5744, 47, 53, 56syl3anc 1144 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
5838, 57syl5 32 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
59 simprr 492 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
6059a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
6158, 60jcad 295 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
62 addcomnqg 6507 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠Q𝑝Q) → (𝑠 +Q 𝑝) = (𝑝 +Q 𝑠))
6341, 42, 62syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (𝑠 +Q 𝑝) = (𝑝 +Q 𝑠))
64 addcomnqg 6507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
6564adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑓Q𝑔Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
66 addassnqg 6508 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓Q𝑔QQ) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q )))
6766adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q )))
6849, 42, 48, 65, 67caov12d 5707 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞)))
6963, 68breq12d 3802 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞))))
7069anbi1d 446 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
7161, 70sylibd 142 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
72 addclnq 6501 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑞) ∈ Q𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
7349, 48, 72syl2anc 397 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
74 ltanqg 6526 . . . . . . . . . 10 ((𝑠Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q𝑝Q) → (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞))))
7541, 73, 42, 74syl3anc 1144 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞))))
7675anbi1d 446 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → ((𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞)) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
7771, 76sylibrd 162 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
78 so2nr 4083 . . . . . . . . . 10 (( <Q Or Q ∧ (𝑠Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
7954, 78mpan 408 . . . . . . . . 9 ((𝑠Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
8041, 73, 79syl2anc 397 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
8180pm2.21d 557 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → ((𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) → ⊥))
8277, 81syld 44 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) ∧ 𝑞Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥))
8382rexlimdva 2448 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) ∧ 𝑝Q) → (∃𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥))
8483rexlimdva 2448 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) → (∃𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥))
8535, 84mpd 13 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿))) → ⊥)
8685inegd 1277 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
8786ralrimivw 2408 1 (𝜑 → ∀𝑠Q ¬ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∧ w3a 894   = wceq 1257  ⊥wfal 1262   ∈ wcel 1407  ∀wral 2321  ∃wrex 2322  {crab 2325  ⟨cop 3403   class class class wbr 3789   Or wor 4057  ⟶wf 4923  ‘cfv 4927  (class class class)co 5537  1st c1st 5790  2nd c2nd 5791  Qcnq 6406   +Q cplq 6408
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