Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcl2lemap GIF version

Theorem expcl2lemap 8921
 Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2 ((x 𝐹 y 𝐹) → (x · y) 𝐹)
expcllem.3 1 𝐹
expcl2lemap.4 ((x 𝐹 x # 0) → (1 / x) 𝐹)
Assertion
Ref Expression
expcl2lemap ((A 𝐹 A # 0 B ℤ) → (AB) 𝐹)
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B   x,𝐹,y
Allowed substitution hint:   B(y)

Proof of Theorem expcl2lemap
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 8035 . . 3 (B ℤ ↔ (B 0 (B -B ℕ)))
2 expcllem.1 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ ℂ
3 expcllem.2 . . . . . . 7 ((x 𝐹 y 𝐹) → (x · y) 𝐹)
4 expcllem.3 . . . . . . 7 1 𝐹
52, 3, 4expcllem 8920 . . . . . 6 ((A 𝐹 B 0) → (AB) 𝐹)
65ex 108 . . . . 5 (A 𝐹 → (B 0 → (AB) 𝐹))
76adantr 261 . . . 4 ((A 𝐹 A # 0) → (B 0 → (AB) 𝐹))
8 simpll 481 . . . . . . . 8 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → A 𝐹)
92, 8sseldi 2937 . . . . . . 7 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → A ℂ)
10 simplr 482 . . . . . . 7 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → A # 0)
11 simprl 483 . . . . . . . 8 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → B ℝ)
1211recnd 6851 . . . . . . 7 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → B ℂ)
13 nnnn0 7964 . . . . . . . 8 (-B ℕ → -B 0)
1413ad2antll 460 . . . . . . 7 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → -B 0)
15 expineg2 8918 . . . . . . 7 (((A A # 0) (B -B 0)) → (AB) = (1 / (A↑-B)))
169, 10, 12, 14, 15syl22anc 1135 . . . . . 6 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → (AB) = (1 / (A↑-B)))
17 ssrab2 3019 . . . . . . . 8 {z 𝐹z # 0} ⊆ 𝐹
18 simpl 102 . . . . . . . . . 10 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → (A 𝐹 A # 0))
19 breq1 3758 . . . . . . . . . . 11 (z = A → (z # 0 ↔ A # 0))
2019elrab 2692 . . . . . . . . . 10 (A {z 𝐹z # 0} ↔ (A 𝐹 A # 0))
2118, 20sylibr 137 . . . . . . . . 9 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → A {z 𝐹z # 0})
2217, 2sstri 2948 . . . . . . . . . 10 {z 𝐹z # 0} ⊆ ℂ
2317sseli 2935 . . . . . . . . . . . 12 (x {z 𝐹z # 0} → x 𝐹)
2417sseli 2935 . . . . . . . . . . . 12 (y {z 𝐹z # 0} → y 𝐹)
2523, 24, 3syl2an 273 . . . . . . . . . . 11 ((x {z 𝐹z # 0} y {z 𝐹z # 0}) → (x · y) 𝐹)
26 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . . 14 (z = x → (z # 0 ↔ x # 0))
2726elrab 2692 . . . . . . . . . . . . 13 (x {z 𝐹z # 0} ↔ (x 𝐹 x # 0))
282sseli 2935 . . . . . . . . . . . . . 14 (x 𝐹x ℂ)
2928anim1i 323 . . . . . . . . . . . . 13 ((x 𝐹 x # 0) → (x x # 0))
3027, 29sylbi 114 . . . . . . . . . . . 12 (x {z 𝐹z # 0} → (x x # 0))
31 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . . 14 (z = y → (z # 0 ↔ y # 0))
3231elrab 2692 . . . . . . . . . . . . 13 (y {z 𝐹z # 0} ↔ (y 𝐹 y # 0))
332sseli 2935 . . . . . . . . . . . . . 14 (y 𝐹y ℂ)
3433anim1i 323 . . . . . . . . . . . . 13 ((y 𝐹 y # 0) → (y y # 0))
3532, 34sylbi 114 . . . . . . . . . . . 12 (y {z 𝐹z # 0} → (y y # 0))
36 mulap0 7417 . . . . . . . . . . . 12 (((x x # 0) (y y # 0)) → (x · y) # 0)
3730, 35, 36syl2an 273 . . . . . . . . . . 11 ((x {z 𝐹z # 0} y {z 𝐹z # 0}) → (x · y) # 0)
38 breq1 3758 . . . . . . . . . . . 12 (z = (x · y) → (z # 0 ↔ (x · y) # 0))
3938elrab 2692 . . . . . . . . . . 11 ((x · y) {z 𝐹z # 0} ↔ ((x · y) 𝐹 (x · y) # 0))
4025, 37, 39sylanbrc 394 . . . . . . . . . 10 ((x {z 𝐹z # 0} y {z 𝐹z # 0}) → (x · y) {z 𝐹z # 0})
41 1ap0 7374 . . . . . . . . . . 11 1 # 0
42 breq1 3758 . . . . . . . . . . . 12 (z = 1 → (z # 0 ↔ 1 # 0))
4342elrab 2692 . . . . . . . . . . 11 (1 {z 𝐹z # 0} ↔ (1 𝐹 1 # 0))
444, 41, 43mpbir2an 848 . . . . . . . . . 10 1 {z 𝐹z # 0}
4522, 40, 44expcllem 8920 . . . . . . . . 9 ((A {z 𝐹z # 0} -B 0) → (A↑-B) {z 𝐹z # 0})
4621, 14, 45syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → (A↑-B) {z 𝐹z # 0})
4717, 46sseldi 2937 . . . . . . 7 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → (A↑-B) 𝐹)
48 breq1 3758 . . . . . . . . . 10 (z = (A↑-B) → (z # 0 ↔ (A↑-B) # 0))
4948elrab 2692 . . . . . . . . 9 ((A↑-B) {z 𝐹z # 0} ↔ ((A↑-B) 𝐹 (A↑-B) # 0))
5046, 49sylib 127 . . . . . . . 8 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → ((A↑-B) 𝐹 (A↑-B) # 0))
5150simprd 107 . . . . . . 7 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → (A↑-B) # 0)
52 breq1 3758 . . . . . . . . 9 (x = (A↑-B) → (x # 0 ↔ (A↑-B) # 0))
53 oveq2 5463 . . . . . . . . . 10 (x = (A↑-B) → (1 / x) = (1 / (A↑-B)))
5453eleq1d 2103 . . . . . . . . 9 (x = (A↑-B) → ((1 / x) 𝐹 ↔ (1 / (A↑-B)) 𝐹))
5552, 54imbi12d 223 . . . . . . . 8 (x = (A↑-B) → ((x # 0 → (1 / x) 𝐹) ↔ ((A↑-B) # 0 → (1 / (A↑-B)) 𝐹)))
56 expcl2lemap.4 . . . . . . . . 9 ((x 𝐹 x # 0) → (1 / x) 𝐹)
5756ex 108 . . . . . . . 8 (x 𝐹 → (x # 0 → (1 / x) 𝐹))
5855, 57vtoclga 2613 . . . . . . 7 ((A↑-B) 𝐹 → ((A↑-B) # 0 → (1 / (A↑-B)) 𝐹))
5947, 51, 58sylc 56 . . . . . 6 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → (1 / (A↑-B)) 𝐹)
6016, 59eqeltrd 2111 . . . . 5 (((A 𝐹 A # 0) (B -B ℕ)) → (AB) 𝐹)
6160ex 108 . . . 4 ((A 𝐹 A # 0) → ((B -B ℕ) → (AB) 𝐹))
627, 61jaod 636 . . 3 ((A 𝐹 A # 0) → ((B 0 (B -B ℕ)) → (AB) 𝐹))
631, 62syl5bi 141 . 2 ((A 𝐹 A # 0) → (B ℤ → (AB) 𝐹))
64633impia 1100 1 ((A 𝐹 A # 0 B ℤ) → (AB) 𝐹)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  {crab 2304   ⊆ wss 2911   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   · cmul 6716  -cneg 6980   # cap 7365   / cdiv 7433  ℕcn 7695  ℕ0cn0 7957  ℤcz 8021  ↑cexp 8908 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909 This theorem is referenced by:  rpexpcl  8928  reexpclzap  8929  qexpclz  8930  m1expcl2  8931  expclzaplem  8933  1exp  8938
 Copyright terms: Public domain W3C validator