Theorem iseqf1olemfvp 10270

Description: Lemma for seq3f1o 10277. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemfvp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemfvp.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemfvp	⊢ (𝜑 → (⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃‘𝐴) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑓,𝐺,𝑥   𝑥,𝐾   𝑓,𝑀,𝑥   𝑓,𝑁,𝑥   𝑥,𝑆   𝑇,𝑓,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝑃(𝑥,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem iseqf1olemfvp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemfvp.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
2	1	csbeq2i 3029	. . . 4 ⊢ ⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃 = ⦋𝑇 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
3		iseqf1olemfvp.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4		f1of 5367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
6		iseqf1olemfvp.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
7		elfzel1 9805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		elfzel2 9804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	6, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	8, 10	fzfigd 10204	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
12		fex 5647	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → 𝑇 ∈ V)
13	5, 11, 12	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
14		nfcvd 2282	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ V → Ⅎ𝑓(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
15		fveq1 5420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → (𝑓‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
16	15	fveq2d 5425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → (𝐺‘(𝑓‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑇‘𝑥)))
17	16	ifeq1d 3489	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
18	17	mpteq2dv 4019	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
19	14, 18	csbiegf 3043	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ V → ⦋𝑇 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
20	13, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑇 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
21	2, 20	syl5eq 2184	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
22		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
23	22	breq1d 3939	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝐴 ≤ 𝑁))
24	22	fveq2d 5425	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐴))
25	24	fveq2d 5425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐺‘(𝑇‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))
26	23, 25	ifbieq1d 3494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) = if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)))
27		iseqf1olemfvp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
28		elfzuz 9802	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
29	27, 28	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30		elfzle2 9808	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ≤ 𝑁)
31	27, 30	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑁)
32	31	iftrued 3481	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))
33		fveq2 5421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑇‘𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))
34	33	eleq1d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑇‘𝐴) → ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝑇‘𝐴)) ∈ 𝑆))
35		iseqf1olemfvp.g	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
36	35	ralrimiva 2505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
37	5, 27	ffvelrnd 5556	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) ∈ (𝑀...𝑁))
38		elfzuz 9802	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑇‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39	37, 38	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40	34, 36, 39	rspcdva 2794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑇‘𝐴)) ∈ 𝑆)
41	32, 40	eqeltrd 2216	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)) ∈ 𝑆)
42	21, 26, 29, 41	fvmptd 5502	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃‘𝐴) = if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)))
43	42, 32	eqtrd 2172	1 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃‘𝐴) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686  ⦋csb 3003  ifcif 3474   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ⟶wf 5119  –1-1-onto→wf1o 5122  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  Fincfn 6634   ≤ cle 7801  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10271  seq3f1olemqsumk  10272