ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnqpri GIF version

Theorem ltnqpri 6749
Description: We can order fractions via <Q or <P. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltnqpri (𝐴 <Q 𝐵 → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝑢,𝐴   𝐵,𝑙   𝑢,𝐵

Proof of Theorem ltnqpri
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6520 . . . . . . . 8 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4419 . . . . . . 7 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
32simpld 109 . . . . . 6 (𝐴 <Q 𝐵𝐴Q)
4 nqprlu 6702 . . . . . 6 (𝐴Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
53, 4syl 14 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝐵 → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
62simprd 111 . . . . . 6 (𝐴 <Q 𝐵𝐵Q)
7 nqprlu 6702 . . . . . 6 (𝐵Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
86, 7syl 14 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝐵 → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
9 ltdfpr 6661 . . . . 5 ((⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩))))
105, 8, 9syl2anc 397 . . . 4 (𝐴 <Q 𝐵 → (⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩))))
11 vex 2577 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
12 breq2 3795 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → (𝐴 <Q 𝑢𝐴 <Q 𝑥))
13 ltnqex 6704 . . . . . . . 8 {𝑙𝑙 <Q 𝐴} ∈ V
14 gtnqex 6705 . . . . . . . 8 {𝑢𝐴 <Q 𝑢} ∈ V
1513, 14op2nd 5801 . . . . . . 7 (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) = {𝑢𝐴 <Q 𝑢}
1611, 12, 15elab2 2712 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ↔ 𝐴 <Q 𝑥)
17 breq1 3794 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑥 → (𝑙 <Q 𝐵𝑥 <Q 𝐵))
18 ltnqex 6704 . . . . . . . 8 {𝑙𝑙 <Q 𝐵} ∈ V
19 gtnqex 6705 . . . . . . . 8 {𝑢𝐵 <Q 𝑢} ∈ V
2018, 19op1st 5800 . . . . . . 7 (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩) = {𝑙𝑙 <Q 𝐵}
2111, 17, 20elab2 2712 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩) ↔ 𝑥 <Q 𝐵)
2216, 21anbi12i 441 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩)) ↔ (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
2322rexbii 2348 . . . 4 (∃𝑥Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩)) ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
2410, 23syl6bb 189 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵 → (⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
25 ltbtwnnqq 6570 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
2624, 25syl6bbr 191 . 2 (𝐴 <Q 𝐵 → (⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ 𝐴 <Q 𝐵))
2726ibir 170 1 (𝐴 <Q 𝐵 → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wcel 1409  {cab 2042  wrex 2324  cop 3405   class class class wbr 3791  cfv 4929  1st c1st 5792  2nd c2nd 5793  Qcnq 6435   <Q cltq 6440  Pcnp 6446  <P cltp 6450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-inp 6621  df-iltp 6625
This theorem is referenced by:  caucvgprprlemk  6838  caucvgprprlemloccalc  6839  caucvgprprlemnjltk  6846  caucvgprprlemlol  6853  caucvgprprlemupu  6855
  Copyright terms: Public domain W3C validator