Theorem ltnqpri 6898

Description: We can order fractions via <_Q or <_P. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqpri	⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝑢,𝐴   𝐵,𝑙   𝑢,𝐵

Proof of Theorem ltnqpri

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 6669	. . . . . . . 8 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simpld 110	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐴 ∈ Q)
4		nqprlu 6851	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
6	2	simprd 112	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
7		nqprlu 6851	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
9		ltdfpr 6810	. . . . 5 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩))))
10	5, 8, 9	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩))))
11		vex 2613	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
12		breq2 3809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝐴 <Q 𝑢 ↔ 𝐴 <Q 𝑥))
13		ltnqex 6853	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴} ∈ V
14		gtnqex 6854	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢} ∈ V
15	13, 14	op2nd 5825	. . . . . . 7 ⊢ (2nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}
16	11, 12, 15	elab2 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩) ↔ 𝐴 <Q 𝑥)
17		breq1 3808	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑥 → (𝑙 <Q 𝐵 ↔ 𝑥 <Q 𝐵))
18		ltnqex 6853	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵} ∈ V
19		gtnqex 6854	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢} ∈ V
20	18, 19	op1st 5824	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}
21	11, 17, 20	elab2 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩) ↔ 𝑥 <Q 𝐵)
22	16, 21	anbi12i 448	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩)) ↔ (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
23	22	rexbii 2378	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩)) ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
24	10, 23	syl6bb 194	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
25		ltbtwnnqq 6719	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
26	24, 25	syl6bbr 196	. 2 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ 𝐴 <Q 𝐵))
27	26	ibir 175	1 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1434  {cab 2069  ∃wrex 2354  ⟨cop 3419   class class class wbr 3805  ‘cfv 4952  1^st c1st 5816  2^nd c2nd 5817  Qcnq 6584   <_Q cltq 6589  Pcnp 6595  <_P cltp 6599

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-eprel 4072  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-irdg 6039  df-1o 6085  df-oadd 6089  df-omul 6090  df-er 6193  df-ec 6195  df-qs 6199  df-ni 6608  df-pli 6609  df-mi 6610  df-lti 6611  df-plpq 6648  df-mpq 6649  df-enq 6651  df-nqqs 6652  df-plqqs 6653  df-mqqs 6654  df-1nqqs 6655  df-rq 6656  df-ltnqqs 6657  df-inp 6770  df-iltp 6774

This theorem is referenced by:  caucvgprprlemk  6987  caucvgprprlemloccalc  6988  caucvgprprlemnjltk  6995  caucvgprprlemlol  7002  caucvgprprlemupu  7004