ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnqpr GIF version

Theorem ltnqpr 6719
Description: We can order fractions via <Q or <P. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltnqpr ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝑢,𝐴   𝐵,𝑙   𝑢,𝐵

Proof of Theorem ltnqpr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqprlu 6673 . . . 4 (𝐴Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
2 nqprlu 6673 . . . 4 (𝐵Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
3 ltdfpr 6632 . . . 4 ((⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩))))
41, 2, 3syl2an 277 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩))))
5 vex 2575 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
6 breq2 3793 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑥 → (𝐴 <Q 𝑢𝐴 <Q 𝑥))
7 ltnqex 6675 . . . . . . 7 {𝑙𝑙 <Q 𝐴} ∈ V
8 gtnqex 6676 . . . . . . 7 {𝑢𝐴 <Q 𝑢} ∈ V
97, 8op2nd 5799 . . . . . 6 (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) = {𝑢𝐴 <Q 𝑢}
105, 6, 9elab2 2710 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ↔ 𝐴 <Q 𝑥)
11 breq1 3792 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑥 → (𝑙 <Q 𝐵𝑥 <Q 𝐵))
12 ltnqex 6675 . . . . . . 7 {𝑙𝑙 <Q 𝐵} ∈ V
13 gtnqex 6676 . . . . . . 7 {𝑢𝐵 <Q 𝑢} ∈ V
1412, 13op1st 5798 . . . . . 6 (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩) = {𝑙𝑙 <Q 𝐵}
155, 11, 14elab2 2710 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩) ↔ 𝑥 <Q 𝐵)
1610, 15anbi12i 441 . . . 4 ((𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩)) ↔ (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
1716rexbii 2346 . . 3 (∃𝑥Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩)) ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
184, 17syl6bb 189 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
19 ltbtwnnqq 6541 . 2 (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
2018, 19syl6rbbr 192 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wcel 1407  {cab 2040  wrex 2322  cop 3403   class class class wbr 3789  cfv 4927  1st c1st 5790  2nd c2nd 5791  Qcnq 6406   <Q cltq 6411  Pcnp 6417  <P cltp 6421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-inp 6592  df-iltp 6596
This theorem is referenced by:  prplnqu  6746  ltrennb  6958
  Copyright terms: Public domain W3C validator