Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atnelvolN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atnelvolN 34692
Description: The join of two atoms is not a lattice volume. (Contributed by NM, 17-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3atnelvol.j = (join‘𝐾)
3atnelvol.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3atnelvol.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2atnelvolN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem 2atnelvolN
StepHypRef Expression
1 3atnelvol.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
2 3atnelvol.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31, 2hlatjidm 34474 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
433adant3 1079 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
54oveq1d 6650 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑃) 𝑄) = (𝑃 𝑄))
6 simp1 1059 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7 simp2 1060 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃𝐴)
8 simp3 1061 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄𝐴)
9 3atnelvol.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
101, 2, 93atnelvolN 34691 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑃) 𝑄) ∈ 𝑉)
116, 7, 7, 8, 10syl13anc 1326 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ ((𝑃 𝑃) 𝑄) ∈ 𝑉)
125, 11eqneltrrd 2719 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  cfv 5876  (class class class)co 6635  joincjn 16925  Atomscatm 34369  HLchlt 34456  LVolsclvol 34598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-lat 17027  df-clat 17089  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457  df-llines 34603  df-lplanes 34604  df-lvols 34605
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator