Theorem axaddass 5257

Description: Addition of complex numbers is associative. This theorem transfers the associative laws for the real and imaginary signed real components of complex number pairs, to complex number addition itself. Axiom 11 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axaddass	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℂ) → ((A + B) + C) = (A + (B + C)))

Proof of Theorem axaddass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 5242	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡E)
2		addcnsrec 5243	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E + [⟨z, w⟩]◡E) = [⟨(x +R z), (y +R w)⟩]◡E)
3		addcnsrec 5243	. 2 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ([⟨z, w⟩]◡E + [⟨v, u⟩]◡E) = [⟨(z +R v), (w +R u)⟩]◡E)
4		addcnsrec 5243	. 2 ⊢ ((((x +R z) ∈ R ⋀ (y +R w) ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ([⟨(x +R z), (y +R w)⟩]◡E + [⟨v, u⟩]◡E) = [⟨((x +R z) +R v), ((y +R w) +R u)⟩]◡E)
5		addcnsrec 5243	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ ((z +R v) ∈ R ⋀ (w +R u) ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E + [⟨(z +R v), (w +R u)⟩]◡E) = [⟨(x +R (z +R v)), (y +R (w +R u))⟩]◡E)
6		addclsr 5172	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ⋀ z ∈ R) → (x +R z) ∈ R)
7		addclsr 5172	. . . 4 ⊢ ((y ∈ R ⋀ w ∈ R) → (y +R w) ∈ R)
8	6, 7	anim12i 333	. . 3 ⊢ (((x ∈ R ⋀ z ∈ R) ⋀ (y ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((x +R z) ∈ R ⋀ (y +R w) ∈ R))
9	8	an4s 508	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ((x +R z) ∈ R ⋀ (y +R w) ∈ R))
10		addclsr 5172	. . . 4 ⊢ ((z ∈ R ⋀ v ∈ R) → (z +R v) ∈ R)
11		addclsr 5172	. . . 4 ⊢ ((w ∈ R ⋀ u ∈ R) → (w +R u) ∈ R)
12	10, 11	anim12i 333	. . 3 ⊢ (((z ∈ R ⋀ v ∈ R) ⋀ (w ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((z +R v) ∈ R ⋀ (w +R u) ∈ R))
13	12	an4s 508	. 2 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (v ∈ R ⋀ u ∈ R)) → ((z +R v) ∈ R ⋀ (w +R u) ∈ R))
14		visset 1809	. . 3 ⊢ z ∈ V
15		visset 1809	. . 3 ⊢ v ∈ V
16	14, 15	addasssr 5177	. 2 ⊢ ((x +R z) +R v) = (x +R (z +R v))
17		visset 1809	. . 3 ⊢ w ∈ V
18		visset 1809	. . 3 ⊢ u ∈ V
19	17, 18	addasssr 5177	. 2 ⊢ ((y +R w) +R u) = (y +R (w +R u))
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 16, 19	ecoprass 4310	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℂ) → ((A + B) + C) = (A + (B + C)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 774   = wceq 954   ∈ wcel 956  Ecep 2825  ^◡ccnv 3164  (class class class)co 3954  Rcnr 4973   +_R cplr 4977  ℂcc 5212   + caddc 5217

This theorem is referenced by:  addasst 5287  addass 5304  add12t 5316  add23t 5317  add4t 5318  cnegextlem1 5325  cnegext 5328  addcan 5331  negeu 5335  addsubasst 5363  muladdt 5401  nnaddclt 5896  nneo 6152  uzaddclt 6389  expaddt 6535  bernneq 6591  ser1absdiflem 6874  faclbnd6 6899  fsum1ps 6964  fsum3 6970  fsum4 6971  binomlem5 7016  bcxmaslem2 7021  bcxmas 7022  ser1cmp2 7121  cvgratlem1ALT 7190  cvgratlem1 7193  fsum0diaglem2 7200  efi4pt 7385  efivalt 7397  cnaddabl 8078  stadd3 10113  golem1 10136  mslb1 10509  2wsms 10510

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-plp 5068  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-c 5220  df-plus 5225

Copyright terms: Public domain