MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axicn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axicn 9725
Description: i is a complex number. Axiom 3 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-icn 9749. (Contributed by NM, 23-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axicn i ∈ ℂ

Proof of Theorem axicn
StepHypRef Expression
1 0r 9655 . 2 0RR
2 1sr 9656 . 2 1RR
3 df-i 9699 . . . 4 i = ⟨0R, 1R
43eleq1i 2583 . . 3 (i ∈ ℂ ↔ ⟨0R, 1R⟩ ∈ ℂ)
5 opelcn 9704 . . 3 (⟨0R, 1R⟩ ∈ ℂ ↔ (0RR ∧ 1RR))
64, 5bitri 262 . 2 (i ∈ ℂ ↔ (0RR ∧ 1RR))
71, 2, 6mpbir2an 956 1 i ∈ ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382  wcel 1938  cop 4034  Rcnr 9441  0Rc0r 9442  1Rc1r 9443  cc 9688  ici 9692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-inf2 8296
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-1st 6933  df-2nd 6934  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-1o 7322  df-oadd 7326  df-omul 7327  df-er 7504  df-ec 7506  df-qs 7510  df-ni 9448  df-pli 9449  df-mi 9450  df-lti 9451  df-plpq 9484  df-mpq 9485  df-ltpq 9486  df-enq 9487  df-nq 9488  df-erq 9489  df-plq 9490  df-mq 9491  df-1nq 9492  df-rq 9493  df-ltnq 9494  df-np 9557  df-1p 9558  df-plp 9559  df-enr 9631  df-nr 9632  df-0r 9636  df-1r 9637  df-c 9696  df-i 9699
This theorem is referenced by:  sineq0ALT  38077
  Copyright terms: Public domain W3C validator