Theorem axinf2 4607

Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 4605 and Regularity ax-reg 4576.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 4608 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified.

Assertion

Ref	Expression
axinf2	⊢ ∃x(∃y(y ∈ x ⋀ ∀z ¬ z ∈ y) ⋀ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y)))))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem axinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 3145	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		peano2 3146	. . . 4 ⊢ (y ∈ ω → suc y ∈ ω)
3	2	ax-gen 962	. . 3 ⊢ ∀y(y ∈ ω → suc y ∈ ω)
4		axinf 4606	. . . . . 6 ⊢ ∃x(y ∈ x ⋀ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ⋀ z ∈ x)))
5	4	inf2 4591	. . . . 5 ⊢ ∃x(x ≠ ∅ ⋀ x ⊆ ∪x)
6	5	inf3 4603	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
7		eleq2 1533	. . . . 5 ⊢ (x = ω → (∅ ∈ x ↔ ∅ ∈ ω))
8		eleq2 1533	. . . . . . 7 ⊢ (x = ω → (y ∈ x ↔ y ∈ ω))
9		eleq2 1533	. . . . . . 7 ⊢ (x = ω → (suc y ∈ x ↔ suc y ∈ ω))
10	8, 9	imbi12d 625	. . . . . 6 ⊢ (x = ω → ((y ∈ x → suc y ∈ x) ↔ (y ∈ ω → suc y ∈ ω)))
11	10	albidv 1277	. . . . 5 ⊢ (x = ω → (∀y(y ∈ x → suc y ∈ x) ↔ ∀y(y ∈ ω → suc y ∈ ω)))
12	7, 11	anbi12d 627	. . . 4 ⊢ (x = ω → ((∅ ∈ x ⋀ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x)) ↔ (∅ ∈ ω ⋀ ∀y(y ∈ ω → suc y ∈ ω))))
13	6, 12	cla4ev 1866	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ ω ⋀ ∀y(y ∈ ω → suc y ∈ ω)) → ∃x(∅ ∈ x ⋀ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x)))
14	1, 3, 13	mp2an 696	. 2 ⊢ ∃x(∅ ∈ x ⋀ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x))
15		0el 2293	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ x ↔ ∃y ∈ x ∀z ¬ z ∈ y)
16		df-rex 1648	. . . . 5 ⊢ (∃y ∈ x ∀z ¬ z ∈ y ↔ ∃y(y ∈ x ⋀ ∀z ¬ z ∈ y))
17	15, 16	bitr 173	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ x ↔ ∃y(y ∈ x ⋀ ∀z ¬ z ∈ y))
18		sucel 3038	. . . . . . 7 ⊢ (suc y ∈ x ↔ ∃z ∈ x ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y)))
19		df-rex 1648	. . . . . . 7 ⊢ (∃z ∈ x ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y)) ↔ ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y))))
20	18, 19	bitr 173	. . . . . 6 ⊢ (suc y ∈ x ↔ ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y))))
21	20	imbi2i 185	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ x → suc y ∈ x) ↔ (y ∈ x → ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y)))))
22	21	albii 998	. . . 4 ⊢ (∀y(y ∈ x → suc y ∈ x) ↔ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y)))))
23	17, 22	anbi12i 482	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ x ⋀ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x)) ↔ (∃y(y ∈ x ⋀ ∀z ¬ z ∈ y) ⋀ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y))))))
24	23	exbii 1050	. 2 ⊢ (∃x(∅ ∈ x ⋀ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x)) ↔ ∃x(∃y(y ∈ x ⋀ ∀z ¬ z ∈ y) ⋀ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y))))))
25	14, 24	mpbi 189	1 ⊢ ∃x(∃y(y ∈ x ⋀ ∀z ¬ z ∈ y) ⋀ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y)))))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223  ∀wal 953   = wceq 955   ∈ wcel 957  ∃wex 979  ∃wrex 1644  ∅c0 2277  suc csuc 2946  ωcom 3127

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576  ax-inf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fv 3194  df-rdg 3927

Copyright terms: Public domain