Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg2ce Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg2ce 35706
 Description: Utility theorem to eliminate p,q when converting theorems with explicit f. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 22-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg2.l = (le‘𝐾)
cdlemg2.j = (join‘𝐾)
cdlemg2.m = (meet‘𝐾)
cdlemg2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg2ex.u 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)
cdlemg2ex.d 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊)))
cdlemg2ex.e 𝐸 = ((𝑝 𝑞) (𝐷 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
cdlemg2ex.g 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑝 𝑞), (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑝 𝑞)) → 𝑦 = 𝐸)), 𝑠 / 𝑡𝐷) (𝑥 𝑊)))), 𝑥))
cdlemg2ce.p (𝐹 = 𝐺 → (𝜓𝜒))
cdlemg2ce.c ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) ∧ 𝜑) → 𝜒)
Assertion
Ref Expression
cdlemg2ce (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) → 𝜓)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐵,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑞,𝑝,𝐴   𝐹,𝑝,𝑞   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ,𝑝,𝑞   𝑇,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑝,𝑞   𝜓,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑞,𝑝)   𝐷(𝑡,𝑞,𝑝)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝑈(𝑞,𝑝)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑞,𝑝)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠,𝑞,𝑝)   (𝑞,𝑝)   (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem cdlemg2ce
StepHypRef Expression
1 simp2 1061 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) → 𝐹𝑇)
2 cdlemg2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cdlemg2.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
4 cdlemg2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
5 cdlemg2.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
6 cdlemg2.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemg2.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemg2.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemg2ex.u . . . . 5 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)
10 cdlemg2ex.d . . . . 5 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊)))
11 cdlemg2ex.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑝 𝑞) (𝐷 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
12 cdlemg2ex.g . . . . 5 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑝 𝑞), (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑝 𝑞)) → 𝑦 = 𝐸)), 𝑠 / 𝑡𝐷) (𝑥 𝑊)))), 𝑥))
132, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemg2cex 35705 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝑇 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)))
14133ad2ant1 1081 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) → (𝐹𝑇 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)))
151, 14mpbid 222 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺))
16 simp11 1090 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 simp2l 1086 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → 𝑝𝐴)
18 simp31 1096 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → ¬ 𝑝 𝑊)
1917, 18jca 554 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
20 simp2r 1087 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → 𝑞𝐴)
21 simp32 1097 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → ¬ 𝑞 𝑊)
2220, 21jca 554 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
23 simp13 1092 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → 𝜑)
24 cdlemg2ce.c . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) ∧ 𝜑) → 𝜒)
2516, 19, 22, 23, 24syl31anc 1328 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → 𝜒)
26 simp33 1098 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → 𝐹 = 𝐺)
27 cdlemg2ce.p . . . . . 6 (𝐹 = 𝐺 → (𝜓𝜒))
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → (𝜓𝜒))
2925, 28mpbird 247 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → 𝜓)
30293exp 1263 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺) → 𝜓)))
3130rexlimdvv 3035 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺) → 𝜓))
3215, 31mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) → 𝜓)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793  ∀wral 2911  ∃wrex 2912  ⦋csb 3531  ifcif 4084   class class class wbr 4651   ↦ cmpt 4727  ‘cfv 5886  ℩crio 6607  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  lecple 15942  joincjn 16938  meetcmee 16939  Atomscatm 34376  HLchlt 34463  LHypclh 35096  LTrncltrn 35213 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-riotaBAD 34065 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-undef 7396  df-map 7856  df-preset 16922  df-poset 16940  df-plt 16952  df-lub 16968  df-glb 16969  df-join 16970  df-meet 16971  df-p0 17033  df-p1 17034  df-lat 17040  df-clat 17102  df-oposet 34289  df-ol 34291  df-oml 34292  df-covers 34379  df-ats 34380  df-atl 34411  df-cvlat 34435  df-hlat 34464  df-llines 34610  df-lplanes 34611  df-lvols 34612  df-lines 34613  df-psubsp 34615  df-pmap 34616  df-padd 34908  df-lhyp 35100  df-laut 35101  df-ldil 35216  df-ltrn 35217  df-trl 35272 This theorem is referenced by:  cdlemg2jlemOLDN  35707  cdlemg2fvlem  35708  cdlemg2klem  35709
 Copyright terms: Public domain W3C validator