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Theorem cnt0 21060
Description: The preimage of a T0 topology under an injective map is T0. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnt0 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)

Proof of Theorem cnt0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 20954 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
213ad2ant3 1082 . 2 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3 simpl3 1064 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 cnima 20979 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐽)
53, 4sylan 488 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐽)
6 eleq2 2687 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐹𝑤) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ (𝐹𝑤)))
7 eleq2 2687 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐹𝑤) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (𝐹𝑤)))
86, 7bibi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐹𝑤) → ((𝑥𝑧𝑦𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤))))
98rspcv 3291 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑤) ∈ 𝐽 → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤))))
105, 9syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤))))
11 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = 𝐽
12 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = 𝐾
1311, 12cnf 20960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
15 ffn 6002 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹: 𝐽 𝐾𝐹 Fn 𝐽)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹 Fn 𝐽)
17 elpreima 6293 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤)))
19 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑥 𝐽)
2019biantrurd 529 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤)))
2118, 20bitr4d 271 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤))
22 elpreima 6293 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑦 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2316, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
24 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑦 𝐽)
2524biantrurd 529 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑤 ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2623, 25bitr4d 271 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤))
2721, 26bibi12d 335 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2827adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2910, 28sylibd 229 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
3029ralrimdva 2963 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → ∀𝑤𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
31 simpl1 1062 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐾 ∈ Kol2)
3214, 19ffvelrnd 6316 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
3314, 24ffvelrnd 6316 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐾)
3412t0sep 21038 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐾)) → (∀𝑤𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
3531, 32, 33, 34syl12anc 1321 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑤𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
3630, 35syld 47 . . . 4 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
37 simpl2 1063 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
38 fdm 6008 . . . . . . . 8 (𝐹: 𝐽 𝐾 → dom 𝐹 = 𝐽)
3914, 38syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → dom 𝐹 = 𝐽)
40 f1dm 6062 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
4137, 40syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → dom 𝐹 = 𝑋)
4239, 41eqtr3d 2657 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐽 = 𝑋)
4319, 42eleqtrd 2700 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑥𝑋)
4424, 42eleqtrd 2700 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑦𝑋)
45 f1fveq 6473 . . . . 5 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4637, 43, 44, 45syl12anc 1321 . . . 4 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4736, 46sylibd 229 . . 3 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
4847ralrimivva 2965 . 2 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
4911ist0 21034 . 2 (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
502, 48, 49sylanbrc 697 1 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907   cuni 4402  ccnv 5073  dom cdm 5074  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  1-1wf1 5844  cfv 5847  (class class class)co 6604  Topctop 20617   Cn ccn 20938  Kol2ct0 21020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804  df-top 20621  df-topon 20623  df-cn 20941  df-t0 21027
This theorem is referenced by:  restt0  21080  sst0  21087  t0hmph  21503
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