Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlatexchb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlatexchb1 34136
Description: A version of cvlexchb1 34132 for atoms. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlatexch.l = (le‘𝐾)
cvlatexch.j = (join‘𝐾)
cvlatexch.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlatexchb1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄)))

Proof of Theorem cvlatexchb1
StepHypRef Expression
1 cvlatl 34127 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 simpr1 1065 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
4 simpr3 1067 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
5 cvlatexch.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 cvlatexch.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atncmp 34114 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (¬ 𝑃 𝑅𝑃𝑅))
82, 3, 4, 7syl3anc 1323 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (¬ 𝑃 𝑅𝑃𝑅))
9 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
109, 6atbase 34091 . . . 4 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
11 cvlatexch.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
129, 5, 11, 6cvlexchb1 34132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑃 𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄)))
13123expia 1264 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))) → (¬ 𝑃 𝑅 → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄))))
1410, 13syl3anr3 1377 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (¬ 𝑃 𝑅 → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄))))
158, 14sylbird 250 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃𝑅 → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄))))
16153impia 1258 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  lecple 15880  joincjn 16876  Atomscatm 34065  AtLatcal 34066  CvLatclc 34067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-preset 16860  df-poset 16878  df-plt 16890  df-lub 16906  df-glb 16907  df-join 16908  df-meet 16909  df-p0 16971  df-lat 16978  df-covers 34068  df-ats 34069  df-atl 34100  df-cvlat 34124
This theorem is referenced by:  cvlatexchb2  34137  cvlatexch1  34138  cvlatexch3  34140  hlatexchb1  34194  llnexchb2lem  34669  4atexlemunv  34867  cdleme19d  35109
  Copyright terms: Public domain W3C validator