Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem20 33795
Description: Lemma for dath 33838. Show that a second dummy atom 𝑑 exists outside of the 𝑌 and 𝑍 planes (when those planes are equal). (Contributed by NM, 14-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalem.l = (le‘𝐾)
dalem.j = (join‘𝐾)
dalem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
dalem20.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem20.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem20.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
Assertion
Ref Expression
dalem20 ((𝜑𝑌 = 𝑍) → ∃𝑐𝑑𝜓)
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝐴   𝐶,𝑑   𝐾,𝑑   ,𝑐,𝑑   𝑌,𝑐,𝑑   ,𝑐   𝑃,𝑐   𝑄,𝑐   𝑅,𝑐   𝑍,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝜓(𝑐,𝑑)   𝐶(𝑐)   𝑃(𝑑)   𝑄(𝑑)   𝑅(𝑑)   𝑆(𝑐,𝑑)   𝑇(𝑐,𝑑)   𝑈(𝑐,𝑑)   (𝑑)   𝐾(𝑐)   𝑂(𝑐,𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dalem20
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . . . 5 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
2 dalem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 dalem.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
4 dalem.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 dalem20.y . . . . 5 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
61, 2, 3, 4, 5dalem18 33783 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝐴 ¬ 𝑐 𝑌)
76adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍) → ∃𝑐𝐴 ¬ 𝑐 𝑌)
8 dalem20.o . . . . . . 7 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
9 dalem20.z . . . . . . 7 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
101, 2, 3, 4, 8, 5, 9dalem19 33784 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑐𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌) → ∃𝑑𝐴 (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑)))
1110ex 448 . . . . 5 (((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑐𝐴) → (¬ 𝑐 𝑌 → ∃𝑑𝐴 (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
1211ancld 573 . . . 4 (((𝜑𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑐𝐴) → (¬ 𝑐 𝑌 → (¬ 𝑐 𝑌 ∧ ∃𝑑𝐴 (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑)))))
1312reximdva 2994 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍) → (∃𝑐𝐴 ¬ 𝑐 𝑌 → ∃𝑐𝐴𝑐 𝑌 ∧ ∃𝑑𝐴 (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑)))))
147, 13mpd 15 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍) → ∃𝑐𝐴𝑐 𝑌 ∧ ∃𝑑𝐴 (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
15 dalem.ps . . . . 5 (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
16 3anass 1034 . . . . 5 (((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))) ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ (¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑)))))
1715, 16bitri 262 . . . 4 (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ (¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑)))))
18172exbii 1763 . . 3 (∃𝑐𝑑𝜓 ↔ ∃𝑐𝑑((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ (¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑)))))
19 r2ex 3037 . . 3 (∃𝑐𝐴𝑑𝐴𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))) ↔ ∃𝑐𝑑((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ (¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑)))))
20 r19.42v 3067 . . . 4 (∃𝑑𝐴𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))) ↔ (¬ 𝑐 𝑌 ∧ ∃𝑑𝐴 (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
2120rexbii 3017 . . 3 (∃𝑐𝐴𝑑𝐴𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))) ↔ ∃𝑐𝐴𝑐 𝑌 ∧ ∃𝑑𝐴 (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
2218, 19, 213bitr2ri 287 . 2 (∃𝑐𝐴𝑐 𝑌 ∧ ∃𝑑𝐴 (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))) ↔ ∃𝑐𝑑𝜓)
2314, 22sylib 206 1 ((𝜑𝑌 = 𝑍) → ∃𝑐𝑑𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1975  wne 2774  wrex 2891   class class class wbr 4572  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  lecple 15716  joincjn 16708  Atomscatm 33366  HLchlt 33453  LPlanesclpl 33594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-preset 16692  df-poset 16710  df-plt 16722  df-lub 16738  df-glb 16739  df-join 16740  df-meet 16741  df-p0 16803  df-p1 16804  df-lat 16810  df-clat 16872  df-oposet 33279  df-ol 33281  df-oml 33282  df-covers 33369  df-ats 33370  df-atl 33401  df-cvlat 33425  df-hlat 33454  df-llines 33600  df-lplanes 33601
This theorem is referenced by:  dalem62  33836
  Copyright terms: Public domain W3C validator