Theorem doca3N 38278

Description: Double orthocomplement of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
doca2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doca2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
doca2.n	⊢ ⊥ = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
doca3N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem doca3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doca2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		doca2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	diacnvclN 38202	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
4		doca2.n	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 4	doca2N 38277	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
6	3, 5	syldan 593	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
7	1, 2	diaf11N 38200	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
8		f1ocnvfv2 7034	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
9	7, 8	sylan 582	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
10	9	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘(𝐼‘(◡𝐼‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
11	10	fveq2d 6674	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
12	6, 11, 9	3eqtr3d 2864	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5554  dom cdm 5555  ran crn 5556  –1-1-onto→wf1o 6354  ‘cfv 6355  HLchlt 36501  LHypclh 37135  DIsoAcdia 38179  ocAcocaN 38270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-riotaBAD 36104

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-undef 7939  df-map 8408  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36327  df-cmtN 36328  df-ol 36329  df-oml 36330  df-covers 36417  df-ats 36418  df-atl 36449  df-cvlat 36473  df-hlat 36502  df-llines 36649  df-lplanes 36650  df-lvols 36651  df-lines 36652  df-psubsp 36654  df-pmap 36655  df-padd 36947  df-lhyp 37139  df-laut 37140  df-ldil 37255  df-ltrn 37256  df-trl 37310  df-disoa 38180  df-docaN 38271

This theorem is referenced by:  diarnN  38280