MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elixx3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elixx3g 12130
Description: Membership in a set of open intervals of extended reals. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show 𝐴 ∈ ℝ* and 𝐵 ∈ ℝ*. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
elixx3g (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem elixx3g
StepHypRef Expression
1 anass 680 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵))))
2 df-3an 1038 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
32anbi1i 730 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
4 ixx.1 . . . . 5 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
54elixx1 12126 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
6 3anass 1040 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
7 ibar 525 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))))
86, 7syl5bb 272 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))))
95, 8bitrd 268 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))))
104ixxf 12127 . . . . . . 7 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
1110fdmi 6009 . . . . . 6 dom 𝑂 = (ℝ* × ℝ*)
1211ndmov 6771 . . . . 5 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) = ∅)
1312eleq2d 2684 . . . 4 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ∅))
14 noel 3895 . . . . . 6 ¬ 𝐶 ∈ ∅
1514pm2.21i 116 . . . . 5 (𝐶 ∈ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
16 simpl 473 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵))) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
1715, 16pm5.21ni 367 . . . 4 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ ∅ ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))))
1813, 17bitrd 268 . . 3 (¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))))
199, 18pm2.61i 176 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵))))
201, 3, 193bitr4ri 293 1 (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  c0 3891  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613   × cxp 5072  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  *cxr 10017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-xr 10022
This theorem is referenced by:  ixxss1  12135  ixxss2  12136  ixxss12  12137  elioo3g  12146  elicore  12168  iccss2  12186  iccssico2  12189  xrtgioo  22517  ftc1anclem7  33123  ftc1anclem8  33124  ftc1anc  33125  eliocre  39145  lbioc  39150
  Copyright terms: Public domain W3C validator