Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elno Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elno 30849
Description: Membership in the surreals. (Shortened proof on 2012-Apr-14, SF). (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
elno (𝐴 No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elno
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3184 . 2 (𝐴 No 𝐴 ∈ V)
2 fex 6372 . . . 4 ((𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} ∧ 𝑥 ∈ On) → 𝐴 ∈ V)
32ancoms 467 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}) → 𝐴 ∈ V)
43rexlimiva 3009 . 2 (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → 𝐴 ∈ V)
5 feq1 5925 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} ↔ 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}))
65rexbidv 3033 . . 3 (𝑓 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}))
7 df-no 30846 . . 3 No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}}
86, 7elab2g 3321 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐴 No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}))
91, 4, 8pm5.21nii 366 1 (𝐴 No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  Vcvv 3172  {cpr 4126  Oncon0 5626  wf 5786  1𝑜c1o 7417  2𝑜c2o 7418   No csur 30843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-no 30846
This theorem is referenced by:  nofun  30852  nodmon  30853  norn  30854  elno2  30857  noreson  30863  noxpsgn  30868  nodenselem6  30891
  Copyright terms: Public domain W3C validator