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Theorem enfin1ai 9150
Description: Ia-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin1ai (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))

Proof of Theorem enfin1ai
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7949 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 bren 7908 . . 3 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
31, 2sylib 208 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
4 elpwi 4140 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
5 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴 ∈ FinIa)
6 imassrn 5436 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑥) ⊆ ran 𝑓
7 f1of 6094 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵𝐴)
87ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑓:𝐵𝐴)
9 frn 6010 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐵𝐴 → ran 𝑓𝐴)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ran 𝑓𝐴)
116, 10syl5ss 3594 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ⊆ 𝐴)
12 fin1ai 9059 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ FinIa ∧ (𝑓𝑥) ⊆ 𝐴) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin))
135, 11, 12syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin))
14 f1of1 6093 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1𝐴)
1514ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑓:𝐵1-1𝐴)
16 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
17 vex 3189 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ V)
19 f1imaeng 7960 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1𝐴𝑥𝐵𝑥 ∈ V) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
2015, 16, 18, 19syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
21 enfi 8120 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑥) ≈ 𝑥 → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ Fin))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ Fin))
23 df-f1 5852 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1𝐴 ↔ (𝑓:𝐵𝐴 ∧ Fun 𝑓))
2423simprbi 480 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐵1-1𝐴 → Fun 𝑓)
25 imadif 5931 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)))
2615, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)))
27 f1ofo 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵onto𝐴)
28 foima 6077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵onto𝐴 → (𝑓𝐵) = 𝐴)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑓𝐵) = 𝐴)
3029ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝐵) = 𝐴)
3130difeq1d 3705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)) = (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)))
3226, 31eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)))
33 difssd 3716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵𝑥) ⊆ 𝐵)
34 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑓 ∈ V
357adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝑓:𝐵𝐴)
36 dmfex 7071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
3734, 35, 36sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝐵 ∈ V)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ V)
39 difexg 4768 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ V → (𝐵𝑥) ∈ V)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵𝑥) ∈ V)
41 f1imaeng 7960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1𝐴 ∧ (𝐵𝑥) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
4215, 33, 40, 41syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
4332, 42eqbrtrrd 4637 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
44 enfi 8120 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ≈ (𝐵𝑥) → ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin ↔ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin ↔ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4622, 45orbi12d 745 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
4713, 46mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
484, 47sylan2 491 . . . . . 6 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4948ralrimiva 2960 . . . . 5 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
50 isfin1a 9058 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ FinIa ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
5137, 50syl 17 . . . . 5 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → (𝐵 ∈ FinIa ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
5249, 51mpbird 247 . . . 4 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝐵 ∈ FinIa)
5352ex 450 . . 3 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
5453exlimiv 1855 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
553, 54syl 17 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cdif 3552  wss 3555  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613  ccnv 5073  ran crn 5075  cima 5077  Fun wfun 5841  wf 5843  1-1wf1 5844  ontowfo 5845  1-1-ontowf1o 5846  cen 7896  Fincfn 7899  FinIacfin1a 9044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-er 7687  df-en 7900  df-fin 7903  df-fin1a 9051
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