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Theorem enfin1ai 9398
Description: Ia-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin1ai (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))

Proof of Theorem enfin1ai
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 8170 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 bren 8130 . . 3 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
31, 2sylib 208 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
4 elpwi 4312 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
5 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴 ∈ FinIa)
6 imassrn 5635 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑥) ⊆ ran 𝑓
7 f1of 6298 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵𝐴)
87ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑓:𝐵𝐴)
9 frn 6214 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐵𝐴 → ran 𝑓𝐴)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ran 𝑓𝐴)
116, 10syl5ss 3755 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ⊆ 𝐴)
12 fin1ai 9307 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ FinIa ∧ (𝑓𝑥) ⊆ 𝐴) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin))
135, 11, 12syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin))
14 f1of1 6297 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1𝐴)
1514ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑓:𝐵1-1𝐴)
16 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
17 vex 3343 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ V)
19 f1imaeng 8181 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1𝐴𝑥𝐵𝑥 ∈ V) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
2015, 16, 18, 19syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
21 enfi 8341 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑥) ≈ 𝑥 → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ Fin))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ Fin))
23 df-f1 6054 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1𝐴 ↔ (𝑓:𝐵𝐴 ∧ Fun 𝑓))
2423simprbi 483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐵1-1𝐴 → Fun 𝑓)
25 imadif 6134 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)))
2615, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)))
27 f1ofo 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵onto𝐴)
28 foima 6281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵onto𝐴 → (𝑓𝐵) = 𝐴)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑓𝐵) = 𝐴)
3029ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓𝐵) = 𝐴)
3130difeq1d 3870 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑓𝐵) ∖ (𝑓𝑥)) = (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)))
3226, 31eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) = (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)))
33 difssd 3881 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵𝑥) ⊆ 𝐵)
34 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑓 ∈ V
357adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝑓:𝐵𝐴)
36 dmfex 7289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
3734, 35, 36sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝐵 ∈ V)
3837adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ V)
39 difexg 4960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ V → (𝐵𝑥) ∈ V)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐵𝑥) ∈ V)
41 f1imaeng 8181 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1𝐴 ∧ (𝐵𝑥) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
4215, 33, 40, 41syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑓 “ (𝐵𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
4332, 42eqbrtrrd 4828 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ≈ (𝐵𝑥))
44 enfi 8341 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ≈ (𝐵𝑥) → ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin ↔ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin ↔ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4622, 45orbi12d 748 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑓𝑥) ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ (𝑓𝑥)) ∈ Fin) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
4713, 46mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
484, 47sylan2 492 . . . . . 6 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
4948ralrimiva 3104 . . . . 5 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin))
50 isfin1a 9306 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ FinIa ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
5137, 50syl 17 . . . . 5 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → (𝐵 ∈ FinIa ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐵𝑥) ∈ Fin)))
5249, 51mpbird 247 . . . 4 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐴 ∈ FinIa) → 𝐵 ∈ FinIa)
5352ex 449 . . 3 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
5453exlimiv 2007 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
553, 54syl 17 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIa𝐵 ∈ FinIa))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804  ccnv 5265  ran crn 5267  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  1-1wf1 6046  ontowfo 6047  1-1-ontowf1o 6048  cen 8118  Fincfn 8121  FinIacfin1a 9292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-er 7911  df-en 8122  df-fin 8125  df-fin1a 9299
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