MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enfi 8128
Description: Equinumerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
enfi (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem enfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enen1 8052 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴𝑥𝐵𝑥))
21rexbidv 3046 . 2 (𝐴𝐵 → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥))
3 isfi 7931 . 2 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
4 isfi 7931 . 2 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
52, 3, 43bitr4g 303 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 1987  wrex 2908   class class class wbr 4618  ωcom 7019  cen 7904  Fincfn 7907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-er 7694  df-en 7908  df-fin 7911
This theorem is referenced by:  enfii  8129  wofib  8402  en2eleq  8783  sdom2en01  9076  fin23lem21  9113  enfin1ai  9158  fin17  9168  isfin7-2  9170  engch  9402  uzinf  12712  hasheni  13084  isfinite4  13101  symggen  17822  psgnunilem1  17845  dfod2  17913  odhash  17921  gsumval3lem1  18238  gsumval3lem2  18239  gsumval3  18240  cyggic  19853  cusgrfilem3  26257  derangen  30897  erdsze2lem1  30928  phpreu  33060  lindsdom  33070  poimirlem30  33106  diophin  36851  diophren  36892  fiphp3d  36898  fiuneneq  37291
  Copyright terms: Public domain W3C validator