Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finorwe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finorwe 34666
Description: If the Axiom of Infinity is denied, every total order is a well-order. The notion of a well-order cannot be usefully expressed without the Axiom of Infinity due to the inability to quantify over proper classes. (Contributed by ML, 5-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
finorwe (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴< We 𝐴))

Proof of Theorem finorwe
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 485 . . . . . . . 8 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ¬ ω ∈ V)
2 soss 5493 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → ( < Or 𝐴< Or 𝑥))
32com12 32 . . . . . . . . 9 ( < Or 𝐴 → (𝑥𝐴< Or 𝑥))
43adantl 484 . . . . . . . 8 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥𝐴< Or 𝑥))
5 vex 3497 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
6 fineqv 8733 . . . . . . . . . . 11 (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)
76biimpi 218 . . . . . . . . . 10 (¬ ω ∈ V → Fin = V)
85, 7eleqtrrid 2920 . . . . . . . . 9 (¬ ω ∈ V → 𝑥 ∈ Fin)
9 wofi 8767 . . . . . . . . . 10 (( < Or 𝑥𝑥 ∈ Fin) → < We 𝑥)
109ancoms 461 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Fin ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
118, 10sylan 582 . . . . . . . 8 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝑥) → < We 𝑥)
121, 4, 11syl6an 682 . . . . . . 7 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥𝐴< We 𝑥))
13 ssid 3989 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥
14 wereu 5551 . . . . . . . . . . 11 (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥𝑥𝑥 ≠ ∅)) → ∃!𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
15 reurex 3431 . . . . . . . . . . 11 (∃!𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦 → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (( < We 𝑥 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥𝑥𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
175, 16mp3anr1 1454 . . . . . . . . 9 (( < We 𝑥 ∧ (𝑥𝑥𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
1813, 17mpanr1 701 . . . . . . . 8 (( < We 𝑥𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)
1918ex 415 . . . . . . 7 ( < We 𝑥 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
2012, 19syl6 35 . . . . . 6 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦)))
2120impd 413 . . . . 5 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
2221alrimiv 1928 . . . 4 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
23 df-fr 5514 . . . 4 ( < Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧 < 𝑦))
2422, 23sylibr 236 . . 3 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Fr 𝐴)
25 simpr 487 . . 3 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < Or 𝐴)
26 df-we 5516 . . 3 ( < We 𝐴 ↔ ( < Fr 𝐴< Or 𝐴))
2724, 25, 26sylanbrc 585 . 2 ((¬ ω ∈ V ∧ < Or 𝐴) → < We 𝐴)
2827ex 415 1 (¬ ω ∈ V → ( < Or 𝐴< We 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  w3a 1083  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3016  wral 3138  wrex 3139  ∃!wreu 3140  Vcvv 3494  wss 3936  c0 4291   class class class wbr 5066   Or wor 5473   Fr wfr 5511   We wwe 5513  ωcom 7580  Fincfn 8509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-om 7581  df-1o 8102  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator