Theorem fineqv 8735

Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fineqv	⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

Proof of Theorem fineqv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3993	. . . 4 ⊢ Fin ⊆ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin ⊆ V)
3		vex 3499	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ V
4		fineqvlem 8734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ ¬ 𝑎 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
5	3, 4	mpan 688	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎)
6		reldom 8517	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≼
7	6	brrelex1i 5610	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝑎 → ω ∈ V)
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ Fin → ω ∈ V)
9	8	con1i 149	. . . . 5 ⊢ (¬ ω ∈ V → 𝑎 ∈ Fin)
10	9	a1d 25	. . . 4 ⊢ (¬ ω ∈ V → (𝑎 ∈ V → 𝑎 ∈ Fin))
11	10	ssrdv 3975	. . 3 ⊢ (¬ ω ∈ V → V ⊆ Fin)
12	2, 11	eqssd 3986	. 2 ⊢ (¬ ω ∈ V → Fin = V)
13		ominf 8732	. . 3 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
14		eleq2 2903	. . 3 ⊢ (Fin = V → (ω ∈ Fin ↔ ω ∈ V))
15	13, 14	mtbii 328	. 2 ⊢ (Fin = V → ¬ ω ∈ V)
16	12, 15	impbii 211	1 ⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5068  ωcom 7582   ≼ cdom 8509  Fincfn 8511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-om 7583  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515

This theorem is referenced by:  npomex  10420  finorwe  34665