MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funsnfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funsnfsupp 8415
Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
funsnfsupp (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍))

Proof of Theorem funsnfsupp
StepHypRef Expression
1 funsng 6050 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
2 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹) → Fun 𝐹)
31, 2anim12ci 592 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
4 dmsnopg 5717 . . . . . . . . . . 11 (𝑌𝑊 → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
54adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
65ineq2d 3922 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = (dom 𝐹 ∩ {𝑋}))
7 df-nel 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∉ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
8 disjsn 4353 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
97, 8sylbb2 228 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∉ dom 𝐹 → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
109adantl 473 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹) → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
116, 10sylan9eq 2778 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅)
123, 11jca 555 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
1312adantl 473 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
14 funun 6045 . . . . . 6 (((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
1615fsuppunbi 8412 . . . 4 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)))
17 simpl 474 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (𝑋𝑉𝑌𝑊))
1817anim2i 594 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑍 ∈ V ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊)))
1918ancomd 466 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
20 df-3an 1074 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
2119, 20sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍 ∈ V))
22 snopfsupp 8414 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍 ∈ V) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
2423biantrud 529 . . . 4 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)))
2516, 24bitr4d 271 . . 3 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍))
2625ex 449 . 2 (𝑍 ∈ V → (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍)))
27 relfsupp 8393 . . . . 5 Rel finSupp
2827brrelex2i 5268 . . . 4 ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
2927brrelex2i 5268 . . . 4 (𝐹 finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
3028, 29pm5.21ni 366 . . 3 𝑍 ∈ V → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍))
3130a1d 25 . 2 𝑍 ∈ V → (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍)))
3226, 31pm2.61i 176 1 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wnel 2999  Vcvv 3304  cun 3678  cin 3679  c0 4023  {csn 4285  cop 4291   class class class wbr 4760  dom cdm 5218  Fun wfun 5995   finSupp cfsupp 8391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-fin 8076  df-fsupp 8392
This theorem is referenced by:  islindf4  20300
  Copyright terms: Public domain W3C validator