MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvf1o 17479
Description: The group inverse is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpinv11.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
Assertion
Ref Expression
grpinvf1o (𝜑𝑁:𝐵1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem grpinvf1o
StepHypRef Expression
1 grpinv11.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 grpinvinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpinvinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
42, 3grpinvf 17460 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑁:𝐵𝐵)
6 ffn 6043 . . 3 (𝑁:𝐵𝐵𝑁 Fn 𝐵)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑𝑁 Fn 𝐵)
82, 3grpinvcnv 17477 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 = 𝑁)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 = 𝑁)
109fneq1d 5979 . . 3 (𝜑 → (𝑁 Fn 𝐵𝑁 Fn 𝐵))
117, 10mpbird 247 . 2 (𝜑𝑁 Fn 𝐵)
12 dff1o4 6143 . 2 (𝑁:𝐵1-1-onto𝐵 ↔ (𝑁 Fn 𝐵𝑁 Fn 𝐵))
137, 11, 12sylanbrc 698 1 (𝜑𝑁:𝐵1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  ccnv 5111   Fn wfn 5881  wf 5882  1-1-ontowf1o 5885  cfv 5886  Basecbs 15851  Grpcgrp 17416  invgcminusg 17417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-grp 17419  df-minusg 17420
This theorem is referenced by:  invoppggim  17784  gsumsub  18342  dprdfsub  18414  psrnegcl  19390  psrlinv  19391  mdetleib2  20388  lflnegl  34189
  Copyright terms: Public domain W3C validator