MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvf 17382
Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvf (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)

Proof of Theorem grpinvf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2626 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2626 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
41, 2, 3grpinveu 17372 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ∃!𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
5 riotacl 6580 . . 3 (∃!𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺) → (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
64, 5syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
7 grpinvcl.n . . 3 𝑁 = (invg𝐺)
81, 2, 3, 7grpinvfval 17376 . 2 𝑁 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
96, 8fmptd 6341 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  ∃!wreu 2914  wf 5846  cfv 5850  crio 6565  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  0gc0g 16016  Grpcgrp 17338  invgcminusg 17339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342
This theorem is referenced by:  grpinvcl  17383  isgrpinv  17388  grpinvcnv  17399  grpinvf1o  17401  grp1inv  17439  pwsinvg  17444  pwssub  17445  oppginv  17705  invoppggim  17706  symgtrinv  17808  invghm  18155  gsumzinv  18261  dprdfinv  18334  grpvlinv  20115  grpvrinv  20116  mdetralt  20328  istgp2  21800  symgtgp  21810  subgtgp  21814  tgpconncomp  21821  prdstgpd  21833  tsmssub  21857  tsmsxplem1  21861  tlmtgp  21904  nrginvrcn  22401
  Copyright terms: Public domain W3C validator