Theorem gsumsub 19068

Description: The difference of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsub.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsub.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
gsumsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsumsub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumsub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
gsumsub.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumsub.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsub	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumsub

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsub.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsub.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsumsub.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5		ablcmn 18913	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		gsumsub.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsumsub.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		ablgrp 18911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
11	4, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 9, 11	grpinvf1o 18169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵)
13		f1of 6615	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
15		gsumsub.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
16		fco 6531	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐻:𝐴⟶𝐵) → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
17	14, 15, 16	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
18		gsumsub.fn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
19	2	fvexi 6684	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
21	1	fvexi 6684	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
23		gsumsub.hn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
24	2, 9	grpinvid 18160	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
25	11, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
26	20, 15, 14, 7, 22, 23, 25	fsuppco2 8866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) finSupp 0 )
27	1, 2, 3, 6, 7, 8, 17, 18, 26	gsumadd 19043	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
28	1, 2, 9, 4, 7, 15, 23	gsuminv 19066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
29	28	oveq2d 7172	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
30	27, 29	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
31	8	ffvelrnda 6851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
32	15	ffvelrnda 6851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
33		gsumsub.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝐺)
34	1, 3, 9, 33	grpsubval 18149	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
35	31, 32, 34	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
36	35	mpteq2dva 5161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
37	8	feqmptd 6733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
38	15	feqmptd 6733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘𝑘)))
39	7, 31, 32, 37, 38	offval2 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))))
40		fvexd 6685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)) ∈ V)
41	14	feqmptd 6733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
42		fveq2 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐻‘𝑘) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))
43	32, 38, 41, 42	fmptco 6891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
44	7, 31, 40, 37, 43	offval2 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
45	36, 39, 44	3eqtr4d 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
46	45	oveq2d 7172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
47	1, 2, 6, 7, 8, 18	gsumcl 19035	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
48	1, 2, 6, 7, 15, 23	gsumcl 19035	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵)
49	1, 3, 9, 33	grpsubval 18149	. . 3 ⊢ (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
50	47, 48, 49	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
51	30, 46, 50	3eqtr4d 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146   ∘ ccom 5559  ⟶wf 6351  –1-1-onto→wf1o 6354  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∘_f cof 7407   finSupp cfsupp 8833  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  0_gc0g 16713   Σ_g cgsu 16714  Grpcgrp 18103  inv_gcminusg 18104  -_gcsg 18105  CMndccmn 18906  Abelcabl 18907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909

This theorem is referenced by:  gsummptfssub  19069  tsmsxplem2  22762