Theorem idcn 21867

Description: A restricted identity function is a continuous function. (Contributed by FL, 27-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
idcn	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem idcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3991	. 2 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝐽
2		ssidcn 21865	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝐽 ⊆ 𝐽))
3	2	anidms 569	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝐽 ⊆ 𝐽))
4	1, 3	mpbiri 260	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938   I cid 5461   ↾ cres 5559  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  TopOnctopon 21520   Cn ccn 21834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-map 8410  df-top 21504  df-topon 21521  df-cn 21837

This theorem is referenced by:  resthauslem  21973  kgencn2  22167  txkgen  22262  cnmptid  22271  idhmeo  22383  qtophmeo  22427  pl1cn  31200  rrhre  31264