Theorem pl1cn 31219

Description: A univariate polynomial is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pl1cn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pl1cn.e	⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑅)
pl1cn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pl1cn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
pl1cn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
pl1cn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
pl1cn.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
pl1cn.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pl1cn	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem pl1cn

Dummy variables ℎ 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pl1cn.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2820	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2820	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2820	. 2 ⊢ ran (eval1‘𝑅) = ran (eval1‘𝑅)
5	1	fvexi 6677	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ V)
7		fvexd 6678	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
8		fvexd 6678	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑔‘𝑥) ∈ V)
9		simp1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝜑)
10		eqid 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
11	10, 10	cnf 21849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓:∪ 𝐽⟶∪ 𝐽)
12	11	ffnd 6508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓 Fn ∪ 𝐽)
13	12	3ad2ant2 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 Fn ∪ 𝐽)
14		dffn5 6717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
15		pl1cn.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
16		trgtgp 22771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → 𝑅 ∈ TopGrp)
17		pl1cn.j	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
18	17, 1	tgptopon 22685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
19	15, 16, 18	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
20		toponuni 21517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → 𝐾 = ∪ 𝐽)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ∪ 𝐽)
22	21	fneq2d 6440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐾 ↔ 𝑓 Fn ∪ 𝐽))
23	14, 22	syl5rbbr 288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Fn ∪ 𝐽 ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥))))
24	23	biimpa 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 Fn ∪ 𝐽) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
25	9, 13, 24	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)))
26	10, 10	cnf 21849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔:∪ 𝐽⟶∪ 𝐽)
27	26	ffnd 6508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔 Fn ∪ 𝐽)
28	27	3ad2ant3 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 Fn ∪ 𝐽)
29		dffn5 6717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
30	21	fneq2d 6440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐾 ↔ 𝑔 Fn ∪ 𝐽))
31	29, 30	syl5rbbr 288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑔 Fn ∪ 𝐽 ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥))))
32	31	biimpa 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 Fn ∪ 𝐽) → 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
33	9, 28, 32	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)))
34	6, 7, 8, 25, 33	offval2 7419	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥))))
35	19	3ad2ant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
36		simp2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37	25, 36	eqeltrrd 2913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑓‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
38		simp3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	33, 38	eqeltrrd 2913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑔‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40		eqid 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+𝑓‘𝑅) = (+𝑓‘𝑅)
41	1, 2, 40	plusffval 17853	. . . . . . . . 9 ⊢ (+𝑓‘𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧))
42	17, 40	tgpcn 22687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ TopGrp → (+𝑓‘𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
43	15, 16, 42	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
44	41, 43	eqeltrrid 2917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
45	44	3ad2ant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
46		oveq12 7158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = (𝑓‘𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔‘𝑥)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥)))
47	35, 37, 39, 35, 35, 45, 46	cnmpt12 22270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
48	34, 47	eqeltrd 2912	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49	48	3adant2l 1173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50	49	3adant3l 1175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
51	50	3expb 1115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
52	6, 7, 8, 25, 33	offval2 7419	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥))))
53		eqid 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
54	53, 1	mgpbas 19240	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
55	53, 3	mgpplusg 19238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
56		eqid 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
57	54, 55, 56	plusffval 17853	. . . . . . . . 9 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧))
58	17, 56	mulrcn 22782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
59	15, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
60	57, 59	eqeltrrid 2917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
61	60	3ad2ant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐾 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
62		oveq12 7158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = (𝑓‘𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔‘𝑥)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥)))
63	35, 37, 39, 35, 35, 61, 62	cnmpt12 22270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
64	52, 63	eqeltrd 2912	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
65	64	3adant2l 1173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
66	65	3adant3l 1175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
67	66	3expb 1115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
68		eleq1 2899	. 2 ⊢ (ℎ = (𝐾 × {𝑓}) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
69		eleq1 2899	. 2 ⊢ (ℎ = ( I ↾ 𝐾) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
70		eleq1 2899	. 2 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
71		eleq1 2899	. 2 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
72		eleq1 2899	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (+g‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
73		eleq1 2899	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓 ∘f (.r‘𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
74		eleq1 2899	. 2 ⊢ (ℎ = (𝐸‘𝐹) → (ℎ ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
75	19	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
76		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → 𝑓 ∈ 𝐾)
77		cnconst2 21886	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
78	75, 75, 76, 77	syl3anc 1366	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
79		idcn 21860	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
80	19, 79	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
81		pl1cn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
82		pl1cn.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑅)
83		pl1cn.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
84		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
85	82, 83, 84, 1	evl1rhm 20490	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
86		pl1cn.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
87		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
88	86, 87	rhmf 19473	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
89		ffn 6507	. . . . . 6 ⊢ (𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝐸 Fn 𝐵)
90		dffn3 6518	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 Fn 𝐵 ↔ 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
91	90	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 Fn 𝐵 → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
92	85, 88, 89, 91	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
93	81, 92	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
94		pl1cn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
95	93, 94	ffvelrnd 6845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ ran 𝐸)
96	82	rneqi 5800	. . 3 ⊢ ran 𝐸 = ran (eval1‘𝑅)
97	95, 96	eleqtrdi 2922	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ ran (eval1‘𝑅))
98	1, 2, 3, 4, 51, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 78, 80, 97	pf1ind 20513	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  Vcvv 3491  {csn 4560  ∪ cuni 4831   ↦ cmpt 5139   I cid 5452   × cxp 5546  ran crn 5549   ↾ cres 5550   Fn wfn 6343  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151   ∘_f cof 7400  Basecbs 16478  +_gcplusg 16560  ._rcmulr 16561  TopOpenctopn 16690   ↑_s cpws 16715  +_𝑓cplusf 17844  mulGrpcmgp 19234  CRingccrg 19293   RingHom crh 19459  Poly₁cpl1 20340  eval₁ce1 20472  TopOnctopon 21513   Cn ccn 21827   ×_t ctx 22163  TopGrpctgp 22674  TopRingctrg 22759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-supp 7824  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-2o 8096  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8455  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-fsupp 8827  df-sup 8899  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-hash 13688  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-plusf 17846  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19235  df-ur 19247  df-srg 19251  df-ring 19294  df-cring 19295  df-rnghom 19462  df-subrg 19528  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-lsp 19739  df-assa 20080  df-asp 20081  df-ascl 20082  df-psr 20131  df-mvr 20132  df-mpl 20133  df-opsr 20135  df-evls 20281  df-evl 20282  df-psr1 20343  df-ply1 20345  df-evl1 20474  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-tx 22165  df-tmd 22675  df-tgp 22676  df-trg 22763

This theorem is referenced by: (None)