Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pl1cn 29975
 Description: A univariate polynomial is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pl1cn.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pl1cn.e 𝐸 = (eval1𝑅)
pl1cn.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pl1cn.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
pl1cn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
pl1cn.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
pl1cn.2 (𝜑𝑅 ∈ TopRing)
pl1cn.3 (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
pl1cn (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem pl1cn
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pl1cn.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2620 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 eqid 2620 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 eqid 2620 . 2 ran (eval1𝑅) = ran (eval1𝑅)
5 fvex 6188 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
61, 5eqeltri 2695 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
76a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ V)
8 fvexd 6190 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑓𝑥) ∈ V)
9 fvexd 6190 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑔𝑥) ∈ V)
10 simp1 1059 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝜑)
11 eqid 2620 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
1211, 11cnf 21031 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓: 𝐽 𝐽)
13 ffn 6032 . . . . . . . . . 10 (𝑓: 𝐽 𝐽𝑓 Fn 𝐽)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑓 Fn 𝐽)
15143ad2ant2 1081 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 Fn 𝐽)
16 dffn5 6228 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐾𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
17 pl1cn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ TopRing)
18 trgtgp 21952 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopRing → 𝑅 ∈ TopGrp)
19 pl1cn.j . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
2019, 1tgptopon 21867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
2117, 18, 203syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
22 toponuni 20700 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → 𝐾 = 𝐽)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 = 𝐽)
2423fneq2d 5970 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐾𝑓 Fn 𝐽))
2516, 24syl5rbbr 275 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑓 Fn 𝐽𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥))))
2625biimpa 501 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 Fn 𝐽) → 𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
2710, 15, 26syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)))
2811, 11cnf 21031 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔: 𝐽 𝐽)
29 ffn 6032 . . . . . . . . . 10 (𝑔: 𝐽 𝐽𝑔 Fn 𝐽)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝑔 Fn 𝐽)
31303ad2ant3 1082 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 Fn 𝐽)
32 dffn5 6228 . . . . . . . . . 10 (𝑔 Fn 𝐾𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
3323fneq2d 5970 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐾𝑔 Fn 𝐽))
3432, 33syl5rbbr 275 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑔 Fn 𝐽𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥))))
3534biimpa 501 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 Fn 𝐽) → 𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
3610, 31, 35syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)))
377, 8, 9, 27, 36offval2 6899 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓𝑓 (+g𝑅)𝑔) = (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥))))
38213ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
39 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4027, 39eqeltrrd 2700 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑓𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
41 simp3 1061 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4236, 41eqeltrrd 2700 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑔𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
43 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 (+𝑓𝑅) = (+𝑓𝑅)
441, 2, 43plusffval 17228 . . . . . . . . 9 (+𝑓𝑅) = (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧))
4519, 43tgpcn 21869 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopGrp → (+𝑓𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4617, 18, 453syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (+𝑓𝑅) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4744, 46syl5eqelr 2704 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
48473ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
49 oveq12 6644 . . . . . . 7 ((𝑦 = (𝑓𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔𝑥)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) = ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥)))
5038, 40, 42, 38, 38, 48, 49cnmpt12 21451 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(+g𝑅)(𝑔𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5137, 50eqeltrd 2699 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓𝑓 (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
52513adant2l 1318 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓𝑓 (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
53523adant3l 1320 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓𝑓 (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
54533expb 1264 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓𝑓 (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
557, 8, 9, 27, 36offval2 6899 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓𝑓 (.r𝑅)𝑔) = (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥))))
56 eqid 2620 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5756, 1mgpbas 18476 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5856, 3mgpplusg 18474 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
59 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
6057, 58, 59plusffval 17228 . . . . . . . . 9 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧))
6119, 59mulrcn 21963 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ TopRing → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
6217, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
6360, 62syl5eqelr 2704 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
64633ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐾, 𝑧𝐾 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
65 oveq12 6644 . . . . . . 7 ((𝑦 = (𝑓𝑥) ∧ 𝑧 = (𝑔𝑥)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥)))
6638, 40, 42, 38, 38, 64, 65cnmpt12 21451 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐾 ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6755, 66eqeltrd 2699 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓𝑓 (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
68673adant2l 1318 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑓𝑓 (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
69683adant3l 1320 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))) → (𝑓𝑓 (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
70693expb 1264 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ (𝑔 ∈ ran (eval1𝑅) ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))) → (𝑓𝑓 (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
71 eleq1 2687 . 2 ( = (𝐾 × {𝑓}) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
72 eleq1 2687 . 2 ( = ( I ↾ 𝐾) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
73 eleq1 2687 . 2 ( = 𝑓 → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
74 eleq1 2687 . 2 ( = 𝑔 → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
75 eleq1 2687 . 2 ( = (𝑓𝑓 (+g𝑅)𝑔) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓𝑓 (+g𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
76 eleq1 2687 . 2 ( = (𝑓𝑓 (.r𝑅)𝑔) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑓𝑓 (.r𝑅)𝑔) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
77 eleq1 2687 . 2 ( = (𝐸𝐹) → ( ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
7821adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑓𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾))
79 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝑓𝐾) → 𝑓𝐾)
80 cnconst2 21068 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) ∧ 𝑓𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8178, 78, 79, 80syl3anc 1324 . 2 ((𝜑𝑓𝐾) → (𝐾 × {𝑓}) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
82 idcn 21042 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐾) → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8321, 82syl 17 . 2 (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
84 pl1cn.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
85 pl1cn.e . . . . . . 7 𝐸 = (eval1𝑅)
86 pl1cn.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
87 eqid 2620 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
8885, 86, 87, 1evl1rhm 19677 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
89 pl1cn.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
90 eqid 2620 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
9189, 90rhmf 18707 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
92 ffn 6032 . . . . . 6 (𝐸:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)) → 𝐸 Fn 𝐵)
93 dffn3 6041 . . . . . . 7 (𝐸 Fn 𝐵𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9493biimpi 206 . . . . . 6 (𝐸 Fn 𝐵𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9588, 91, 92, 944syl 19 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
9684, 95syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸:𝐵⟶ran 𝐸)
97 pl1cn.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
9896, 97ffvelrnd 6346 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ ran 𝐸)
9985rneqi 5341 . . 3 ran 𝐸 = ran (eval1𝑅)
10098, 99syl6eleq 2709 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ ran (eval1𝑅))
1011, 2, 3, 4, 54, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 81, 83, 100pf1ind 19700 1 (𝜑 → (𝐸𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  Vcvv 3195  {csn 4168  ∪ cuni 4427   ↦ cmpt 4720   I cid 5013   × cxp 5102  ran crn 5105   ↾ cres 5106   Fn wfn 5871  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635   ↦ cmpt2 6637   ∘𝑓 cof 6880  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  .rcmulr 15923  TopOpenctopn 16063   ↑s cpws 16088  +𝑓cplusf 17220  mulGrpcmgp 18470  CRingccrg 18529   RingHom crh 18693  Poly1cpl1 19528  eval1ce1 19660  TopOnctopon 20696   Cn ccn 21009   ×t ctx 21344  TopGrpctgp 21856  TopRingctrg 21940 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-ofr 6883  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-sup 8333  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-prds 16089  df-pws 16091  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-plusf 17222  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-ghm 17639  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-srg 18487  df-ring 18530  df-cring 18531  df-rnghom 18696  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-assa 19293  df-asp 19294  df-ascl 19295  df-psr 19337  df-mvr 19338  df-mpl 19339  df-opsr 19341  df-evls 19487  df-evl 19488  df-psr1 19531  df-ply1 19533  df-evl1 19662  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-tx 21346  df-tmd 21857  df-tgp 21858  df-trg 21944 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator