MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem5 8480
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8483 for detailed description. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem5 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem5
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 7029 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
21ancoms 469 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
3 nnord 7027 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
4 ordsucss 6972 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
65adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
7 peano2b 7035 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ω ↔ suc 𝐵 ∈ ω)
8 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = suc 𝐵 → (𝐹𝑣) = (𝐹‘suc 𝐵))
98psseq2d 3683 . . . . . . . . 9 (𝑣 = suc 𝐵 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
109imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑣 = suc 𝐵 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵))))
11 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑢))
1211psseq2d 3683 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑢 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢)))
1312imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢))))
14 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = suc 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹‘suc 𝑢))
1514psseq2d 3683 . . . . . . . . 9 (𝑣 = suc 𝑢 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)))
1615imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑣 = suc 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
17 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝐴 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝐴))
1817psseq2d 3683 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝐴 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
1918imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝐴 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
20 inf3lem.1 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
21 inf3lem.2 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
22 inf3lem.4 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
2320, 21, 22, 22inf3lem4 8479 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐵 ∈ ω → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
2423com12 32 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
257, 24sylbir 225 . . . . . . . 8 (suc 𝐵 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
26 vex 3192 . . . . . . . . . . . 12 𝑢 ∈ V
2720, 21, 26, 22inf3lem4 8479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑢 ∈ ω → (𝐹𝑢) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)))
28 psstr 3694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢) ∧ (𝐹𝑢) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))
2928expcom 451 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑢) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢) → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)))
3027, 29syl6com 37 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
3130a2d 29 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ω → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢)) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
3231ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐵𝑢) → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢)) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
3310, 13, 16, 19, 25, 32findsg 7047 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐵𝐴) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
3433ex 450 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐵𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
357, 34sylan2b 492 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐵𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
366, 35syld 47 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
3736impancom 456 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
382, 37mpd 15 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
3938com12 32 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3189  cin 3558  wss 3559  wpss 3560  c0 3896   cuni 4407  cmpt 4678  cres 5081  Ord word 5686  suc csuc 5689  cfv 5852  ωcom 7019  reccrdg 7457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-reg 8448
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458
This theorem is referenced by:  inf3lem6  8481
  Copyright terms: Public domain W3C validator