Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem5 8480
 Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8483 for detailed description. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem5 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem5
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 7029 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
21ancoms 469 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
3 nnord 7027 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
4 ordsucss 6972 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
65adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
7 peano2b 7035 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ω ↔ suc 𝐵 ∈ ω)
8 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = suc 𝐵 → (𝐹𝑣) = (𝐹‘suc 𝐵))
98psseq2d 3683 . . . . . . . . 9 (𝑣 = suc 𝐵 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
109imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑣 = suc 𝐵 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵))))
11 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑢))
1211psseq2d 3683 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑢 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢)))
1312imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢))))
14 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = suc 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹‘suc 𝑢))
1514psseq2d 3683 . . . . . . . . 9 (𝑣 = suc 𝑢 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)))
1615imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑣 = suc 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
17 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝐴 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝐴))
1817psseq2d 3683 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝐴 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
1918imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝐴 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
20 inf3lem.1 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
21 inf3lem.2 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
22 inf3lem.4 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
2320, 21, 22, 22inf3lem4 8479 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐵 ∈ ω → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
2423com12 32 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
257, 24sylbir 225 . . . . . . . 8 (suc 𝐵 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
26 vex 3192 . . . . . . . . . . . 12 𝑢 ∈ V
2720, 21, 26, 22inf3lem4 8479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑢 ∈ ω → (𝐹𝑢) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)))
28 psstr 3694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢) ∧ (𝐹𝑢) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))
2928expcom 451 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑢) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢) → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)))
3027, 29syl6com 37 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
3130a2d 29 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ω → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢)) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
3231ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐵𝑢) → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢)) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
3310, 13, 16, 19, 25, 32findsg 7047 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐵𝐴) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
3433ex 450 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐵𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
357, 34sylan2b 492 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐵𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
366, 35syld 47 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
3736impancom 456 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
382, 37mpd 15 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
3938com12 32 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3189   ∩ cin 3558   ⊆ wss 3559   ⊊ wpss 3560  ∅c0 3896  ∪ cuni 4407   ↦ cmpt 4678   ↾ cres 5081  Ord word 5686  suc csuc 5689  ‘cfv 5852  ωcom 7019  reccrdg 7457 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-reg 8448 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458 This theorem is referenced by:  inf3lem6  8481
 Copyright terms: Public domain W3C validator