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Theorem islvol2aN 33692
Description: The predicate "is a lattice volume". (Contributed by NM, 16-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
islvol2a.l = (le‘𝐾)
islvol2a.j = (join‘𝐾)
islvol2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islvol2a.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islvol2aN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))

Proof of Theorem islvol2aN
StepHypRef Expression
1 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
2 simpl1 1056 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simpl3 1058 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑄𝐴)
4 islvol2a.j . . . . . . . . . . 11 = (join‘𝐾)
5 islvol2a.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5hlatjidm 33469 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
72, 3, 6syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
81, 7sylan9eqr 2665 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 𝑄) = 𝑄)
98oveq1d 6542 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑄 𝑅))
109oveq1d 6542 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑆))
11 simprl 789 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑅𝐴)
12 simprr 791 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆𝐴)
13 islvol2a.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (LVols‘𝐾)
144, 5, 133atnelvolN 33686 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
152, 3, 11, 12, 14syl13anc 1319 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
1615adantr 479 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
1710, 16eqneltrd 2706 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
1817ex 448 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
1918necon2ad 2796 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉𝑃𝑄))
20 hllat 33464 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
212, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
22 eqid 2609 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2322, 5atbase 33390 . . . . . . 7 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2423ad2antrl 759 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2522, 4, 5hlatjcl 33467 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2625adantr 479 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
27 islvol2a.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
2822, 27, 4latleeqj2 16833 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 (𝑃 𝑄) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄)))
2921, 24, 26, 28syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 (𝑃 𝑄) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄)))
30 simpl2 1057 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑃𝐴)
314, 5, 133atnelvolN 33686 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝑉)
322, 30, 3, 12, 31syl13anc 1319 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝑉)
33 oveq1 6534 . . . . . . . 8 (((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑆))
3433eleq1d 2671 . . . . . . 7 (((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝑉))
3534notbid 306 . . . . . 6 (((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄) → (¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝑉))
3632, 35syl5ibrcom 235 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
3729, 36sylbid 228 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 (𝑃 𝑄) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
3837con2d 127 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)))
3922, 5atbase 33390 . . . . . . 7 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
4039ad2antll 760 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
4122, 4latjcl 16820 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4221, 26, 24, 41syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4322, 27, 4latleeqj2 16833 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
4421, 40, 42, 43syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
454, 5, 133atnelvolN 33686 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉)
462, 30, 3, 11, 45syl13anc 1319 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉)
47 eleq1 2675 . . . . . . 7 ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉))
4847notbid 306 . . . . . 6 ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅) → (¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉))
4946, 48syl5ibrcom 235 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
5044, 49sylbid 228 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
5150con2d 127 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
5219, 38, 513jcad 1235 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
5327, 4, 5, 13lvoli2 33681 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
54533expia 1258 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
5552, 54impbid 200 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  lecple 15721  joincjn 16713  Latclat 16814  Atomscatm 33364  HLchlt 33451  LVolsclvol 33593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-llines 33598  df-lplanes 33599  df-lvols 33600
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