Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  latm32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latm32 34037
Description: A rearrangement of lattice meet. (in12 3808 analog.) (Contributed by NM, 13-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olmass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olmass.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latm32 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑋 𝑍) 𝑌))

Proof of Theorem latm32
StepHypRef Expression
1 ollat 34019 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2 olmass.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 olmass.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
42, 3latmcom 17015 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) = (𝑍 𝑌))
51, 4syl3an1 1356 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) = (𝑍 𝑌))
653adant3r1 1271 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑍) = (𝑍 𝑌))
76oveq2d 6631 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
82, 3latmassOLD 34035 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑋 (𝑌 𝑍)))
9 simpl 473 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
10 simpr1 1065 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
11 simpr3 1067 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
12 simpr2 1066 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
132, 3latmassOLD 34035 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑍) 𝑌) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
149, 10, 11, 12, 13syl13anc 1325 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑍) 𝑌) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
157, 8, 143eqtr4d 2665 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑋 𝑍) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  meetcmee 16885  Latclat 16985  OLcol 33980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-preset 16868  df-poset 16886  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-lat 16986  df-oposet 33982  df-ol 33984
This theorem is referenced by:  cdleme20d  35119  dia2dimlem3  35874
  Copyright terms: Public domain W3C validator