Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem3 36849
Description: Lemma for dia2dim 36860. Define a translation 𝐷 whose trace is atom 𝑉. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem3.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem3.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem3.m = (meet‘𝐾)
dia2dimlem3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem3.q 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
dia2dimlem3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem3.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem3.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem3.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dia2dimlem3.f (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem3.rf (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
dia2dimlem3.uv (𝜑𝑈𝑉)
dia2dimlem3.ru (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
dia2dimlem3.rv (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem3.d (𝜑𝐷𝑇)
dia2dimlem3.dv (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem3 (𝜑 → (𝑅𝐷) = 𝑉)

Proof of Theorem dia2dimlem3
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem3.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21simpld 477 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ HL)
3 dia2dimlem3.f . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
43simpld 477 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑇)
5 dia2dimlem3.p . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
6 dia2dimlem3.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
7 dia2dimlem3.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 dia2dimlem3.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 dia2dimlem3.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
106, 7, 8, 9ltrnel 35920 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
111, 4, 5, 10syl3anc 1473 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
1211simpld 477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
13 dia2dimlem3.v . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
1413simpld 477 . . . . . 6 (𝜑𝑉𝐴)
15 dia2dimlem3.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
166, 15, 7hlatlej2 35157 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → 𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉))
172, 12, 14, 16syl3anc 1473 . . . . 5 (𝜑𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉))
18 hllat 35145 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
192, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
20 eqid 2752 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2120, 7atbase 35071 . . . . . . 7 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2214, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2320, 15, 7hlatjcl 35148 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
242, 12, 14, 23syl3anc 1473 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
25 dia2dimlem3.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
266, 7, 8, 9, 25trlat 35951 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
271, 5, 3, 26syl3anc 1473 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
28 dia2dimlem3.u . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
2928simpld 477 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐴)
3020, 15, 7hlatjcl 35148 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑈𝐴) → ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
312, 27, 29, 30syl3anc 1473 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
32 dia2dimlem3.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
3320, 6, 32latmlem2 17275 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉) → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))))
3419, 22, 24, 31, 33syl13anc 1475 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉 ((𝐹𝑃) 𝑉) → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))))
3517, 34mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
36 dia2dimlem3.rf . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
3715, 7hlatjcom 35149 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴𝑉𝐴) → (𝑈 𝑉) = (𝑉 𝑈))
382, 29, 14, 37syl3anc 1473 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 𝑉) = (𝑉 𝑈))
3936, 38breqtrd 4822 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑉 𝑈))
40 dia2dimlem3.ru . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
416, 15, 7hlatexch2 35177 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝑉𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑈) → ((𝑅𝐹) (𝑉 𝑈) → 𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈)))
422, 27, 14, 29, 40, 41syl131anc 1486 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐹) (𝑉 𝑈) → 𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈)))
4339, 42mpd 15 . . . . 5 (𝜑𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈))
4420, 6, 32latleeqm2 17273 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅𝐹) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈) ↔ (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉))
4519, 22, 31, 44syl3anc 1473 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉 ((𝑅𝐹) 𝑈) ↔ (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉))
4643, 45mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) 𝑉) = 𝑉)
47 dia2dimlem3.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑇)
48 dia2dimlem3.q . . . . . . 7 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
49 dia2dimlem3.uv . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
506, 15, 32, 7, 8, 9, 25, 48, 1, 28, 13, 5, 3, 36, 49, 40dia2dimlem1 36847 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
516, 15, 32, 7, 8, 9, 25trlval2 35945 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇 ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑅𝐷) = ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊))
521, 47, 50, 51syl3anc 1473 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝐷) = ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊))
5348a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
54 dia2dimlem3.dv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
5553, 54oveq12d 6823 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 (𝐷𝑄)) = (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)))
565simpld 477 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝐴)
5720, 15, 7hlatjcl 35148 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
582, 56, 29, 57syl3anc 1473 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
596, 15, 7hlatlej1 35156 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑉𝐴) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉))
602, 12, 14, 59syl3anc 1473 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉))
6120, 6, 15, 32, 7atmod4i1 35647 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) 𝑉)) → (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)) = (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
622, 12, 58, 24, 60, 61syl131anc 1486 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) (𝐹𝑃)) = (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6315, 7hlatj32 35153 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑈𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)) → ((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈))
642, 56, 29, 12, 63syl13anc 1475 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈))
6564oveq1d 6820 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 𝑈) (𝐹𝑃)) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6655, 62, 653eqtrd 2790 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 (𝐷𝑄)) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
6766oveq1d 6820 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊))
68 hlol 35143 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
692, 68syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ OL)
7020, 15, 7hlatjcl 35148 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
712, 56, 12, 70syl3anc 1473 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
7220, 7atbase 35071 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7329, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
7420, 15latjcl 17244 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
7519, 71, 73, 74syl3anc 1473 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
761simprd 482 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝐻)
7720, 8lhpbase 35779 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7920, 32latm32 35013 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐹𝑃) 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
8069, 75, 24, 78, 79syl13anc 1475 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) 𝑊) = ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
816, 15, 32, 7, 8, 9, 25trlval2 35945 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
821, 4, 5, 81syl3anc 1473 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐹) = ((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊))
8382oveq1d 6820 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅𝐹) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈))
8428simprd 482 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 𝑊)
8520, 6, 15, 32, 7atmod4i1 35647 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴 ∧ (𝑃 (𝐹𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑈 𝑊) → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊))
862, 29, 71, 78, 84, 85syl131anc 1486 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑊) 𝑈) = (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊))
8783, 86eqtr2d 2787 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) = ((𝑅𝐹) 𝑈))
8887oveq1d 6820 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑃 (𝐹𝑃)) 𝑈) 𝑊) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
8967, 80, 883eqtrd 2790 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 (𝐷𝑄)) 𝑊) = (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)))
9052, 89eqtr2d 2787 . . . 4 (𝜑 → (((𝑅𝐹) 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉)) = (𝑅𝐷))
9135, 46, 903brtr3d 4827 . . 3 (𝜑𝑉 (𝑅𝐷))
92 hlatl 35142 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
932, 92syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ AtLat)
94 hlop 35144 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
952, 94syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ OP)
96 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
97 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
9896, 97, 70ltat 35073 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑉𝐴) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉)
9995, 14, 98syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉)
100 hlpos 35147 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
1012, 100syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
10220, 96op0cl 34966 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10395, 102syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10420, 8, 9, 25trlcl 35946 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇) → (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))
1051, 47, 104syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))
10620, 6, 97pltletr 17164 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉𝑉 (𝑅𝐷)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷)))
107101, 103, 22, 105, 106syl13anc 1475 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑉𝑉 (𝑅𝐷)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷)))
10899, 91, 107mp2and 717 . . . . . . 7 (𝜑 → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷))
10920, 97, 96opltn0 34972 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐷) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷) ↔ (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾)))
11095, 105, 109syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑅𝐷) ↔ (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾)))
111108, 110mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝐷) ≠ (0.‘𝐾))
112111neneqd 2929 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾))
11396, 7, 8, 9, 25trlator0 35953 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇) → ((𝑅𝐷) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾)))
1141, 47, 113syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅𝐷) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾)))
115114orcomd 402 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝐷) = (0.‘𝐾) ∨ (𝑅𝐷) ∈ 𝐴))
116115ord 391 . . . . 5 (𝜑 → (¬ (𝑅𝐷) = (0.‘𝐾) → (𝑅𝐷) ∈ 𝐴))
117112, 116mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑅𝐷) ∈ 𝐴)
1186, 7atcmp 35093 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑉𝐴 ∧ (𝑅𝐷) ∈ 𝐴) → (𝑉 (𝑅𝐷) ↔ 𝑉 = (𝑅𝐷)))
11993, 14, 117, 118syl3anc 1473 . . 3 (𝜑 → (𝑉 (𝑅𝐷) ↔ 𝑉 = (𝑅𝐷)))
12091, 119mpbid 222 . 2 (𝜑𝑉 = (𝑅𝐷))
121120eqcomd 2758 1 (𝜑 → (𝑅𝐷) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  Basecbs 16051  lecple 16142  Posetcpo 17133  ltcplt 17134  joincjn 17137  meetcmee 17138  0.cp0 17230  Latclat 17238  OPcops 34954  OLcol 34956  Atomscatm 35045  AtLatcal 35046  HLchlt 35132  LHypclh 35765  LTrncltrn 35882  trLctrl 35940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-map 8017  df-preset 17121  df-poset 17139  df-plt 17151  df-lub 17167  df-glb 17168  df-join 17169  df-meet 17170  df-p0 17232  df-p1 17233  df-lat 17239  df-clat 17301  df-oposet 34958  df-ol 34960  df-oml 34961  df-covers 35048  df-ats 35049  df-atl 35080  df-cvlat 35104  df-hlat 35133  df-llines 35279  df-psubsp 35284  df-pmap 35285  df-padd 35577  df-lhyp 35769  df-laut 35770  df-ldil 35885  df-ltrn 35886  df-trl 35941
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  36851
  Copyright terms: Public domain W3C validator