Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leatb 34897
Description: A poset element less than or equal to an atom equals either zero or the atom. (atss 29333 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
leatom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l = (le‘𝐾)
leatom.z 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
leatb ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem leatb
StepHypRef Expression
1 leatom.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 leatom.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 leatom.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3op0le 34791 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
543adant3 1101 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 0 𝑋)
65biantrurd 528 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ ( 0 𝑋𝑋 𝑃)))
7 opposet 34786 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
873ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
91, 3op0cl 34789 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
10 leatom.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
111, 10atbase 34894 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
12 id 22 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
139, 11, 123anim123i 1266 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐴𝑋𝐵) → ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵))
14133com23 1291 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵))
15 eqid 2651 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
163, 15, 10atcvr0 34893 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
17163adant2 1100 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
181, 2, 15cvrnbtwn4 34884 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → (( 0 𝑋𝑋 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋𝑋 = 𝑃)))
198, 14, 17, 18syl3anc 1366 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (( 0 𝑋𝑋 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋𝑋 = 𝑃)))
20 eqcom 2658 . . . . 5 ( 0 = 𝑋𝑋 = 0 )
2120orbi1i 541 . . . 4 (( 0 = 𝑋𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃))
2219, 21syl6bb 276 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (( 0 𝑋𝑋 𝑃) ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃)))
236, 22bitrd 268 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃)))
24 orcom 401 . 2 ((𝑋 = 0𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ))
2523, 24syl6bb 276 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  Posetcpo 16987  0.cp0 17084  OPcops 34777  ccvr 34867  Atomscatm 34868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-glb 17022  df-p0 17086  df-oposet 34781  df-covers 34871  df-ats 34872
This theorem is referenced by:  leat  34898  leat2  34899  meetat  34901
  Copyright terms: Public domain W3C validator