Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leatb 34897
 Description: A poset element less than or equal to an atom equals either zero or the atom. (atss 29333 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
leatom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l = (le‘𝐾)
leatom.z 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
leatb ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem leatb
StepHypRef Expression
1 leatom.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 leatom.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 leatom.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3op0le 34791 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
543adant3 1101 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 0 𝑋)
65biantrurd 528 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ ( 0 𝑋𝑋 𝑃)))
7 opposet 34786 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
873ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
91, 3op0cl 34789 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
10 leatom.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
111, 10atbase 34894 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
12 id 22 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
139, 11, 123anim123i 1266 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐴𝑋𝐵) → ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵))
14133com23 1291 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵))
15 eqid 2651 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
163, 15, 10atcvr0 34893 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
17163adant2 1100 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
181, 2, 15cvrnbtwn4 34884 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → (( 0 𝑋𝑋 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋𝑋 = 𝑃)))
198, 14, 17, 18syl3anc 1366 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (( 0 𝑋𝑋 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋𝑋 = 𝑃)))
20 eqcom 2658 . . . . 5 ( 0 = 𝑋𝑋 = 0 )
2120orbi1i 541 . . . 4 (( 0 = 𝑋𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃))
2219, 21syl6bb 276 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (( 0 𝑋𝑋 𝑃) ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃)))
236, 22bitrd 268 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃)))
24 orcom 401 . 2 ((𝑋 = 0𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ))
2523, 24syl6bb 276 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  Posetcpo 16987  0.cp0 17084  OPcops 34777   ⋖ ccvr 34867  Atomscatm 34868 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-glb 17022  df-p0 17086  df-oposet 34781  df-covers 34871  df-ats 34872 This theorem is referenced by:  leat  34898  leat2  34899  meetat  34901
 Copyright terms: Public domain W3C validator