Theorem letrii 10765

Description: Trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
letrii	⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem letrii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2		lt.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1, 2	ltnlei 10761	. . 3 ⊢ (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
4	1, 2	ltlei 10762	. . 3 ⊢ (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴)
5	3, 4	sylbir 237	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴)
6	5	orri 858	1 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 843   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ℝcr 10536   < clt 10675   ≤ cle 10676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681

This theorem is referenced by:  divalglem1  15745