MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem1 15044
Description: Lemma for divalg 15053. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
Assertion
Ref Expression
divalglem1 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))

Proof of Theorem divalglem1
StepHypRef Expression
1 divalglem0.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℤ
21zrei 11330 . . . 4 𝑁 ∈ ℝ
3 0re 9987 . . . 4 0 ∈ ℝ
42, 3letrii 10109 . . 3 (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑁)
5 divalglem0.2 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℤ
6 divalglem1.3 . . . . . . . 8 𝐷 ≠ 0
7 nnabscl 14002 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
85, 6, 7mp2an 707 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
9 nnge1 10993 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ∈ ℕ → 1 ≤ (abs‘𝐷))
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ (abs‘𝐷)
11 le0neg1 10483 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
122, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁)
132renegcli 10289 . . . . . . . 8 -𝑁 ∈ ℝ
145zrei 11330 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ ℝ
1514recni 9999 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ ℂ
1615abscli 14071 . . . . . . . 8 (abs‘𝐷) ∈ ℝ
17 lemulge11 10832 . . . . . . . 8 (((-𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ -𝑁 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷))) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
1813, 16, 17mpanl12 717 . . . . . . 7 ((0 ≤ -𝑁 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷)) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
1912, 18sylanb 489 . . . . . 6 ((𝑁 ≤ 0 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷)) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
2010, 19mpan2 706 . . . . 5 (𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
212recni 9999 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℂ
2221, 15absmuli 14080 . . . . . 6 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
232absnidi 14055 . . . . . . 7 (𝑁 ≤ 0 → (abs‘𝑁) = -𝑁)
2423oveq1d 6622 . . . . . 6 (𝑁 ≤ 0 → ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
2522, 24syl5eq 2667 . . . . 5 (𝑁 ≤ 0 → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
2620, 25breqtrrd 4643 . . . 4 (𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
27 le0neg2 10484 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ 0))
282, 27ax-mp 5 . . . . 5 (0 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ 0)
292, 14remulcli 10001 . . . . . . . 8 (𝑁 · 𝐷) ∈ ℝ
3029recni 9999 . . . . . . 7 (𝑁 · 𝐷) ∈ ℂ
3130absge0i 14072 . . . . . 6 0 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))
3230abscli 14071 . . . . . . 7 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℝ
3313, 3, 32letri 10113 . . . . . 6 ((-𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
3431, 33mpan2 706 . . . . 5 (-𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
3528, 34sylbi 207 . . . 4 (0 ≤ 𝑁 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
3626, 35jaoi 394 . . 3 ((𝑁 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑁) → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
374, 36ax-mp 5 . 2 -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))
38 df-neg 10216 . . . 4 -𝑁 = (0 − 𝑁)
3938breq1i 4622 . . 3 (-𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ (0 − 𝑁) ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
403, 2, 32lesubadd2i 10535 . . 3 ((0 − 𝑁) ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
4139, 40bitri 264 . 2 (-𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
4237, 41mpbi 220 1 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wo 383  wa 384  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888  cle 10022  cmin 10213  -cneg 10214  cn 10967  cz 11324  abscabs 13911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913
This theorem is referenced by:  divalglem2  15045
  Copyright terms: Public domain W3C validator