Theorem limsupresxr 42054

Description: The superior limit of a function only depends on the restriction of that function to the preimage of the set of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupresxr.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
limsupresxr.2	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
limsupresxr.3	⊢ 𝐴 = (◡𝐹 “ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupresxr	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresxr

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resimass 41517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
3	2	ssrind 4214	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4		limsupresxr.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
5	4	funfnd 6388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
6		elinel1 4174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7		fvelima2 41539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑥) = 𝑦)
8	5, 6, 7	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑥) = 𝑦)
9		elinel1 4174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
10	9	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
11		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
12		elinel2 4175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
13	12	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14	11, 13	eqeltrd 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
15	14	3adant2 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
16	10, 15	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*))
17	16	3adant1l 1172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*))
18		simp1l 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
19		elpreima 6830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)))
20	5, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)))
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)))
22	17, 21	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ ℝ*))
23		limsupresxr.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐴 = (◡𝐹 “ ℝ*)
24	22, 23	eleqtrrdi 2926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	24	3expa 1114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
26	25	fvresd 6692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
27		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
28	26, 27	eqtr2d 2859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥))
29		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
30	4	funresd 41540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
32	9	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
33	25, 32	elind 4173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
34		dmres 5877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
35	33, 34	eleqtrrdi 2926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴))
36	31, 35	jca 514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴)))
37		elinel2 4175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
38	37	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
39		funfvima 6994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
40	36, 38, 39	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
41	28, 40	eqeltrd 2915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
42	41	rexlimdva2 3289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
43	8, 42	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
44	43	ralrimiva 3184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
45		dfss3 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
46	44, 45	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
47		inss2 4208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
48	47	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
49	46, 48	ssind 4211	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ (((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
50	3, 49	eqssd 3986	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
51	50	supeq1d 8912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
52	51	mpteq2dv 5164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
53	52	rneqd 5810	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
54	53	infeq1d 8943	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
55		limsupresxr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
56	55	resexd 41410	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V)
57		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
58	57	limsupval 14833	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ V → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
59	56, 58	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
60		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
61	60	limsupval 14833	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
62	55, 61	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
63	54, 59, 62	3eqtr4d 2868	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐴)) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  Vcvv 3496   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938   ↦ cmpt 5148  ^◡ccnv 5556  dom cdm 5557  ran crn 5558   ↾ cres 5559   “ cima 5560  Fun wfun 6351   Fn wfn 6352  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  supcsup 8906  infcinf 8907  ℝcr 10538  +∞cpnf 10674  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677  [,)cico 12743  lim supclsp 14829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-limsup 14830

This theorem is referenced by: (None)