Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupresxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupresxr 40316
 Description: The superior limit of a function only depends on the restriction of that function to the preimage of the set of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupresxr.1 (𝜑𝐹𝑉)
limsupresxr.2 (𝜑 → Fun 𝐹)
limsupresxr.3 𝐴 = (𝐹 “ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupresxr (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresxr
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resimass 39763 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
32ssrind 39647 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4 limsupresxr.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐹)
54funfnd 5957 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
6 elinel1 3832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7 fvelima2 39789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦)
85, 6, 7syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦)
9 elinel1 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
1093ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
11 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑦)
12 elinel2 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1411, 13eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
15143adant2 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1610, 15jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*))
17163adant1l 1358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*))
18 simp1l 1105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
19 elpreima 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
205, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)))
2217, 21mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ ℝ*))
23 limsupresxr.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (𝐹 “ ℝ*)
2422, 23syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥𝐴)
25243expa 1284 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥𝐴)
2625fvresd 6246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
27 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑦)
2826, 27eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
29 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝜑)
304funresd 39790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Fun (𝐹𝐴))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → Fun (𝐹𝐴))
329ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3325, 32elind 3831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ dom 𝐹))
34 dmres 5454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
3533, 34syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴))
3631, 35jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → (Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴)))
37 elinel2 3833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
3837ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞))
39 funfvima 6532 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,)+∞) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
4036, 38, 39sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4128, 40eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4241rexlimdva2 39653 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞))))
438, 42mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4443ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
45 dfss3 3625 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)𝑦 ∈ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
4644, 45sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)))
47 inss2 3867 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
4946, 48ssind 3870 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
503, 49eqssd 3653 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5150supeq1d 8393 . . . . 5 (𝜑 → sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5251mpteq2dv 4778 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
5352rneqd 5385 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
5453infeq1d 8424 . 2 (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
55 limsupresxr.1 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
5655resexd 39635 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ V)
57 eqid 2651 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5857limsupval 14249 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ V → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
5956, 58syl 17 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹𝐴) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
60 eqid 2651 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6160limsupval 14249 . . 3 (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6255, 61syl 17 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
6354, 59, 623eqtr4d 2695 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝐹𝐴)) = (lim sup‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607   ↦ cmpt 4762  ◡ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145   “ cima 5146  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  infcinf 8388  ℝcr 9973  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   < clt 10112  [,)cico 12215  lim supclsp 14245 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-limsup 14246 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator