Theorem lindfres 20967

Description: Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lindfres	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)

Proof of Theorem lindfres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coires1 6117	. . 3 ⊢ (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) = (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))
2		resdmres 6089	. . 3 ⊢ (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) = (𝐹 ↾ 𝑋)
3	1, 2	eqtri 2844	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) = (𝐹 ↾ 𝑋)
4		f1oi 6652	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹 ↾ 𝑋)
5		f1of1 6614	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1-onto→dom (𝐹 ↾ 𝑋) → ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom (𝐹 ↾ 𝑋))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom (𝐹 ↾ 𝑋)
7		resss 5878	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹
8		dmss 5771	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹
10		f1ss 6580	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹) → ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom 𝐹)
11	6, 9, 10	mp2an 690	. . 3 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom 𝐹
12		f1lindf 20966	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊 ∧ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–1-1→dom 𝐹) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) LIndF 𝑊)
13	11, 12	mp3an3 1446	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) LIndF 𝑊)
14	3, 13	eqbrtrrid 5102	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹 ↾ 𝑋) LIndF 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066   I cid 5459  dom cdm 5555   ↾ cres 5557   ∘ ccom 5559  –1-1→wf1 6352  –1-1-onto→wf1o 6354  LModclmod 19634   LIndF clindf 20948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-slot 16487  df-base 16489  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lindf 20950

This theorem is referenced by:  lindsss  20968