Theorem lnfnmul 9968

Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional.

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	⊢ T ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnmul	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → (T ‘(A ·h B)) = (A · (T ‘B)))

Proof of Theorem lnfnmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 8868	. . 3 ⊢ 0h ∈ ℋ
2		lnfnl.1	. . . 4 ⊢ T ∈ LinFn
3	2	lnfnl 9964	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ⋀ 0h ∈ ℋ ) → (T ‘((A ·h B) +h 0h)) = ((A · (T ‘B)) + (T ‘0h)))
4	1, 3	mp3an3 907	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → (T ‘((A ·h B) +h 0h)) = ((A · (T ‘B)) + (T ‘0h)))
5		hvmulclt 8878	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → (A ·h B) ∈ ℋ )
6		ax-hvaddid 8869	. . . 4 ⊢ ((A ·h B) ∈ ℋ → ((A ·h B) +h 0h) = (A ·h B))
7	5, 6	syl 10	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → ((A ·h B) +h 0h) = (A ·h B))
8	7	fveq2d 3734	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → (T ‘((A ·h B) +h 0h)) = (T ‘(A ·h B)))
9		axmulcl 5285	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ (T ‘B) ∈ ℂ) → (A · (T ‘B)) ∈ ℂ)
10	2	lnfnf 9965	. . . . . 6 ⊢ T: ℋ –→ℂ
11	10	ffvelrni 3821	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℋ → (T ‘B) ∈ ℂ)
12	9, 11	sylan2 453	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → (A · (T ‘B)) ∈ ℂ)
13		ax0id 5293	. . . 4 ⊢ ((A · (T ‘B)) ∈ ℂ → ((A · (T ‘B)) + 0) = (A · (T ‘B)))
14	12, 13	syl 10	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → ((A · (T ‘B)) + 0) = (A · (T ‘B)))
15	2	lnfn0 9966	. . . 4 ⊢ (T ‘0h) = 0
16	15	opreq2i 3978	. . 3 ⊢ ((A · (T ‘B)) + (T ‘0h)) = ((A · (T ‘B)) + 0)
17	14, 16	syl5eq 1522	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → ((A · (T ‘B)) + (T ‘0h)) = (A · (T ‘B)))
18	4, 8, 17	3eqtr3d 1518	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → (T ‘(A ·h B)) = (A · (T ‘B)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  0cc0 5246   + caddc 5249   · cmul 5251   ℋ chil 8783   +_h cva 8784   ·_h csm 8785  0_hc0v 8786  LinFnclf 8818

This theorem is referenced by:  lnfnaddmul 9969  lnfnmult 9972  nmbdfnlb 9973  nmcfnexlem3 9977  nmcfnlb 9982  nlelsh 9988  riesz3 9990

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-lnfn 9769

Copyright terms: Public domain