Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnnat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnnat 33534
Description: A line (the join of two distinct atoms) is not an atom. (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lnnat.j = (join‘𝐾)
lnnat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lnnat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem lnnat
StepHypRef Expression
1 simpl1 1056 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1057 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝐴)
3 eqid 2609 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 eqid 2609 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
5 lnnat.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
63, 4, 5atcvr0 33396 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
71, 2, 6syl2anc 690 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
8 lnnat.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
98, 4, 5atcvr1 33524 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
109biimpa 499 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄))
11 hlop 33470 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
12 eqid 2609 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 3op0cl 33292 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
141, 11, 133syl 18 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
1512, 5atbase 33397 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
162, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17 hllat 33471 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ Lat)
19 simpl3 1058 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄𝐴)
2012, 5atbase 33397 . . . . . . . 8 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2212, 8latjcl 16820 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2318, 16, 21, 22syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2412, 4cvrntr 33532 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
251, 14, 16, 23, 24syl13anc 1319 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
267, 10, 25mp2and 710 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄))
27 simpll1 1092 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
283, 4, 5atcvr0 33396 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄))
2927, 28sylancom 697 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑄))
3026, 29mtand 688 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴)
3130ex 448 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))
328, 5hlatjidm 33476 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
33323adant3 1073 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑃) = 𝑃)
34 simp2 1054 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃𝐴)
3533, 34eqeltrd 2687 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑃) ∈ 𝐴)
36 oveq2 6535 . . . . 5 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑃) = (𝑃 𝑄))
3736eleq1d 2671 . . . 4 (𝑃 = 𝑄 → ((𝑃 𝑃) ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))
3835, 37syl5ibcom 233 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))
3938necon3bd 2795 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴𝑃𝑄))
4031, 39impbid 200 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  joincjn 16713  0.cp0 16806  Latclat 16814  OPcops 33280  ccvr 33370  Atomscatm 33371  HLchlt 33458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33284  df-ol 33286  df-oml 33287  df-covers 33374  df-ats 33375  df-atl 33406  df-cvlat 33430  df-hlat 33459
This theorem is referenced by:  2atjlej  33586  cdleme11h  34374
  Copyright terms: Public domain W3C validator