Theorem lt2msq 11511

Description: Two nonnegative numbers compare the same as their squares. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lt2msq	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))

Proof of Theorem lt2msq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2msq1 11510	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵))
2	1	3expia 1117	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
3	2	adantrr 715	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
4		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
5	4, 4	oveq12d 7160	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵)))
7		lt2msq1 11510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
8	7	3expia 1117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
9	8	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
10	9	ancoms 461	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
11	6, 10	orim12d 961	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))))
12	11	con3d 155	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (¬ ((𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)) → ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
13		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13, 13	remulcld 10657	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
15		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	15, 15	remulcld 10657	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
17	14, 16	lttrid 10764	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵) ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))))
18	13, 15	lttrid 10764	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
19	12, 17, 18	3imtr4d 296	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
20	3, 19	impbid 214	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5052  (class class class)co 7142  ℝcr 10522  0cc0 10523   · cmul 10528   < clt 10661   ≤ cle 10662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-op 4560  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5446  df-po 5460  df-so 5461  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859

This theorem is referenced by:  le2msq  11526  lt2msqi  11538  lt2sq  13488