MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt2msq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt2msq 10853
Description: Two nonnegative numbers compare the same as their squares. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lt2msq (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))

Proof of Theorem lt2msq
StepHypRef Expression
1 lt2msq1 10852 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵))
213expia 1264 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
32adantrr 752 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
4 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐵)
54, 4oveq12d 6623 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵))
65a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵)))
7 lt2msq1 10852 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
873expia 1264 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
98adantrr 752 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
109ancoms 469 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
116, 10orim12d 882 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))))
1211con3d 148 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (¬ ((𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)) → ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
13 simpll 789 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413, 13remulcld 10015 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
15 simprl 793 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1615, 15remulcld 10015 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
1714, 16lttrid 10120 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵) ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐵) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))))
1813, 15lttrid 10120 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
1912, 17, 183imtr4d 283 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
203, 19impbid 202 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cr 9880  0cc0 9881   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214
This theorem is referenced by:  le2msq  10868  lt2msqi  10881  lt2sq  12874
  Copyright terms: Public domain W3C validator